Номер 5.18, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.18. На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 5.10. Отметьте центры граней тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

Рис. 5.10

На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 5.10.
Для построения тетраэдра на листе в клетку, аналогичного изображенному, можно следовать координатам на сетке. Пусть левая нижняя вершина основания будет точкой отсчета.
1. Поставьте точку для первой вершины основания.
2. Для второй видимой вершины основания отсчитайте 5 клеток вправо и 1 клетку вниз.
3. Для третьей, невидимой, вершины основания отсчитайте от первой точки 2 клетки вправо и 2 клетки вниз.
4. Для верхней вершины тетраэдра отсчитайте от первой точки 3 клетки вправо и 4 клетки вверх.
5. Соедините вершины отрезками. Ребра, которые видны наблюдателю, рисуются сплошной линией. Ребро основания, которое скрыто другими гранями, изображается пунктирной линией.
Ответ: Решением является чертеж, выполненный на бумаге согласно описанию.

Отметьте центры граней тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются?
Тетраэдр имеет 4 грани, каждая из которых представляет собой треугольник. Центр грани — это точка пересечения ее медиан (центроид). Чтобы найти центр каждой из четырех граней, необходимо для каждого треугольника-грани провести медианы (отрезки, соединяющие вершину с серединой противоположной стороны). Точка пересечения медиан и является искомым центром.
Отметив центры всех четырех граней и соединив их, мы получим новый многогранник. Поскольку у исходного тетраэдра 4 грани, у нового многогранника будет 4 вершины. Многогранник с четырьмя вершинами — это также тетраэдр. Фигура, полученная соединением центров граней правильного многогранника, называется двойственным многогранником. Для правильного тетраэдра двойственным является другой правильный тетраэдр.
Ответ: Отмеченные точки являются вершинами другого тетраэдра.

Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.
Дано:
Исходный тетраэдр является правильным.
Длина ребра исходного тетраэдра $a = 1$.

Найти:
Длину ребра $b$ нового тетраэдра, образованного центрами граней исходного.

Решение:
Пусть вершины исходного правильного тетраэдра обозначены как $A, B, C, D$. Вершины нового тетраэдра являются центроидами граней исходного. Ребро нового тетраэдра соединяет центры двух соседних граней.
Рассмотрим две смежные грани, например, $ABC$ и $ABD$. Их центры — точки $M_{ABC}$ и $M_{ABD}$.
Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Записав радиус-векторы для центров граней $ABC$ и $ABD$, получим:
$\vec{r}_{M_{ABC}} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$
$\vec{r}_{M_{ABD}} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}}{3}$
Вектор $\vec{b}$, соответствующий ребру нового тетраэдра, соединяющему эти центры, равен разности их радиус-векторов:
$\vec{b} = \vec{r}_{M_{ABD}} - \vec{r}_{M_{ABC}} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}}{3} - \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{(\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}) - (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})}{3} = \frac{\vec{D} - \vec{C}}{3}$
Длина ребра нового тетраэдра $b$ равна модулю этого вектора:
$b = |\vec{b}| = \left|\frac{\vec{D} - \vec{C}}{3}\right| = \frac{1}{3}|\vec{D} - \vec{C}|$
Величина $|\vec{D} - \vec{C}|$ — это расстояние между вершинами $D$ и $C$, которое равно длине ребра исходного тетраэдра, то есть $a$.
Таким образом, получаем соотношение: $b = \frac{1}{3}a$.
Подставляя заданное значение $a = 1$, находим длину ребра нового тетраэдра:
$b = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$.