Номер 5.22, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.22. Сколько имеется путей длиной 3 см по ребрам единичного икосаэдра из одной его вершины в противоположащую вершину?

Дано:

Геометрическое тело: единичный икосаэдр.

Длина пути по ребрам: $L = 3$ см.

Длина ребра икосаэдра: $a = 1$ см (следует из определения "единичного" икосаэдра и длины пути в см).

Начальная вершина: произвольная вершина $V_{start}$.

Конечная вершина: противолежащая вершина $V_{end}$.

Найти:

Количество путей $N$ длиной 3 ребра из вершины $V_{start}$ в вершину $V_{end}$.

Решение:

Задача сводится к подсчету количества маршрутов (или путей) определенной длины в графе, вершинами и ребрами которого являются вершины и ребра икосаэдра.

Икосаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 20 треугольных граней, 30 ребер и 12 вершин. В каждой вершине сходится 5 ребер, то есть степень каждой вершины в графе икосаэдра равна 5.

Длина пути составляет 3 см, а длина ребра единичного икосаэдра — 1 см. Это означает, что мы ищем количество путей, состоящих ровно из 3 ребер.

Пусть начальная вершина — $V_{start}$, а противолежащая ей (антиподальная) вершина — $V_{end}$. Проанализируем расстояния от вершины $V_{start}$ до всех остальных вершин графа, измеряя расстояние количеством ребер в кратчайшем пути.

1. Вершины на расстоянии 0: Это сама вершина $V_{start}$ (1 вершина).

2. Вершины на расстоянии 1: Это 5 вершин, непосредственно соединенных с $V_{start}$ ребром. Назовем это множество вершин $S_1$. $|S_1| = 5$.

3. Вершины на расстоянии 2: Это вершины, достижимые из $V_{start}$ за 2 шага (но не за 1). Каждая из 5 вершин в $S_1$ соединена с $V_{start}$ (1 ребро), с двумя другими вершинами из $S_1$ (поскольку грани — треугольники), и, следовательно, с $5 - 1 - 2 = 2$ вершинами, находящимися на следующем "уровне". Эти 5 вершин из $S_1$ соединены с 5 новыми вершинами. Назовем это множество $S_2$. $|S_2| = 5$.

4. Вершины на расстоянии 3: Оставшаяся вершина. $1 + 5 + 5 = 11$. Всего вершин 12, значит, осталась одна. Эта вершина и является противолежащей вершиной $V_{end}$. Кратчайшее расстояние от $V_{start}$ до $V_{end}$ равно 3 ребрам. $|S_3| = 1$, и $S_3 = \{V_{end}\}$.

Мы ищем путь длиной 3 ребра: $V_{start} \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow V_{end}$.

Рассмотрим шаги этого пути:

Шаг 1: $V_{start} \rightarrow v_1$.

Первый шаг должен быть сделан в одну из смежных с $V_{start}$ вершин. Таких вершин 5 (множество $S_1$). Таким образом, для вершины $v_1$ существует 5 возможных вариантов.

Шаг 2: $v_1 \rightarrow v_2$.

Вершина $v_1$ принадлежит множеству $S_1$. Мы должны перейти в вершину $v_2$, из которой можно за один шаг попасть в $V_{end}$. Это означает, что $v_2$ должна быть смежной с $V_{end}$. Вершины, смежные с $V_{end}$, находятся от нее на расстоянии 1. Поскольку расстояние от $V_{start}$ до $V_{end}$ равно 3, то любая вершина, смежная с $V_{end}$, будет находиться на расстоянии 2 от $V_{start}$. То есть, $v_2$ должна принадлежать множеству $S_2$.

Найдем, со сколькими вершинами из $S_2$ соединена каждая вершина $v_1 \in S_1$. Каждая вершина $v_1$ имеет степень 5. Одно ребро ведет к $V_{start}$ (в $S_0$), два ребра — к другим вершинам в $S_1$. Оставшиеся $5 - 1 - 2 = 2$ ребра ведут к вершинам из множества $S_2$.

Следовательно, для каждого из 5 выборов $v_1$ есть 2 варианта для выбора $v_2$.

Шаг 3: $v_2 \rightarrow V_{end}$.

Вершина $v_2$ принадлежит множеству $S_2$. Нам нужно убедиться, что из нее есть путь в $V_{end}$. По симметрии икосаэдра, каждая вершина $v_2 \in S_2$ соединена ребром с $V_{end}$. Степень $v_2$ равна 5: 2 ребра ведут к вершинам из $S_1$, 2 ребра — к другим вершинам из $S_2$, и оставшееся $5 - 2 - 2 = 1$ ребро ведет к $V_{end}$.

Таким образом, для каждого выбора $v_2$ существует ровно 1 способ завершить путь.

Общее количество путей равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$N = (\text{число вариантов для } v_1) \times (\text{число вариантов для } v_2) \times (\text{число вариантов для шага в } V_{end})$

$N = 5 \times 2 \times 1 = 10$.

Поскольку кратчайший путь от $V_{start}$ до $V_{end}$ равен 3, любой найденный путь длины 3 не будет содержать повторяющихся вершин и, следовательно, является простым путем.

Ответ: 10.