Вопрос?, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Верно ли, что сечением выпуклого многогранника является выпуклый многоугольник?

Да, это утверждение верно. Сечением выпуклого многогранника всегда является выпуклый многоугольник. Докажем это утверждение.

Решение
Выпуклый многогранник — это многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Эквивалентное определение: многогранник является выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, полностью ему принадлежит.

Сечение многогранника плоскостью — это многоугольник, образованный пересечением многогранника с этой плоскостью.

Доказательство основано на определении выпуклого множества. Множество точек называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества соединяющий их отрезок целиком принадлежит этому множеству.

Пусть $M$ — это выпуклый многогранник, а $\alpha$ — это секущая плоскость. Их пересечение образует сечение $S = M \cap \alpha$. Нам нужно доказать, что многоугольник $S$ является выпуклым.

Возьмём две произвольные точки $A$ и $B$, принадлежащие сечению $S$.
1. Поскольку точки $A \in S$ и $B \in S$, они по определению принадлежат плоскости $\alpha$. Любой отрезок, концы которого лежат в одной плоскости, целиком принадлежит этой плоскости. Следовательно, весь отрезок $[AB]$ лежит в плоскости $\alpha$.
2. Поскольку точки $A \in S$ и $B \in S$, они также принадлежат многограннику $M$. Так как многогранник $M$ выпуклый, то по определению отрезок $[AB]$, соединяющий две его точки, целиком принадлежит этому многограннику.

Из этих двух пунктов следует, что отрезок $[AB]$ одновременно принадлежит и многограннику $M$, и плоскости $\alpha$. Это означает, что отрезок $[AB]$ полностью содержится в их пересечении, то есть в сечении $S$.

Мы показали, что для любых двух точек $A$ и $B$ из сечения $S$ отрезок $[AB]$ целиком принадлежит $S$. Это и есть определение выпуклого множества. Поскольку сечение является многоугольником, оно является выпуклым многоугольником.

Ответ: Да, утверждение верно.