Номер 6.5, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.5. Постройте сечение правильной тре-

угольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ плоскостью,

проходящей через середины ребер $AA_1$,

$BB_1$, $B_1 C_1$ (рис. 6.12).

Рис. 6.12

Дано:
Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Точка $D$ — середина ребра $AA_1$.
Точка $E$ — середина ребра $BB_1$.
Точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$.
Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки $D$, $E$, $F$.

Найти:
Построить сечение призмы плоскостью $\alpha$.

Решение:

Построение сечения заключается в нахождении линий пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

1. Точки $D$ и $E$ принадлежат секущей плоскости и одновременно лежат в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок $DE$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABB_1A_1$. Соединяем точки $D$ и $E$.

2. Точки $E$ и $F$ принадлежат секущей плоскости и одновременно лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Следовательно, отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $BCC_1B_1$. Соединяем точки $E$ и $F$.

3. Призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, поэтому ее боковые ребра параллельны и равны, а боковые грани являются прямоугольниками. Так как $D$ и $E$ — середины боковых ребер $AA_1$ и $BB_1$ соответственно, то отрезок $DE$ является средней линией прямоугольника $ABB_1A_1$ и, следовательно, $DE \parallel A_1B_1$.

4. Секущая плоскость $\alpha$ содержит прямую $DE$, которая параллельна прямой $A_1B_1$, лежащей в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. По теореме о пересечении плоскости с двумя параллельными прямыми, линия пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна прямой $A_1B_1$ (и прямой $DE$).

5. Эта линия пересечения проходит через точку $F$, так как точка $F$ принадлежит и секущей плоскости $\alpha$, и плоскости грани $A_1B_1C_1$. Проведем в плоскости $A_1B_1C_1$ через точку $F$ прямую, параллельную $A_1B_1$. Пусть эта прямая пересекает ребро $A_1C_1$ в точке $G$.

6. Так как в треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $FG$ проходит через середину стороны $B_1C_1$ (точку $F$) и параллелен стороне $A_1B_1$, то $FG$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, точка $G$ — середина стороны $A_1C_1$. Отрезок $FG$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $A_1B_1C_1$.

7. Точки $D$ и $G$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости боковой грани $AA_1C_1C$. Соединяем точки $D$ и $G$. Отрезок $DG$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$.

8. В результате последовательного соединения точек получен четырехугольник $DEFG$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $DEFG$, вершинами которого являются точки $D$ (середина $AA_1$), $E$ (середина $BB_1$), $F$ (середина $B_1C_1$) и $G$ (середина $A_1C_1$).