Номер 6.11, страница 43 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.11. Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник EFGH, изображенный на рисунке $6.18$?

Рис. $6.18$

Решение

Предположим, что четырехугольник $EFGH$, изображенный на рисунке, является плоским сечением тетраэдра $ABCD$. Это означает, что все его вершины — точки $E$, $F$, $G$, $H$ — лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость сечения $\alpha$.

Рассмотрим противоположные стороны четырехугольника $EF$ и $HG$.

1. Сторона $EF$ сечения лежит на грани $ABC$, так как точки $E$ и $F$ принадлежат ребрам $AB$ и $BC$ этой грани. Таким образом, прямая $EF$ является линией пересечения плоскости сечения $\alpha$ и плоскости грани $(ABC)$.

2. Аналогично, сторона $HG$ сечения лежит на грани $ADC$, так как точки $H$ и $G$ принадлежат ребрам $AD$ и $CD$ этой грани. Прямая $HG$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости грани $(ADC)$.

3. Плоскости граней $(ABC)$ и $(ADC)$ пересекаются по общей прямой $AC$.

4. Согласно свойству пересечения плоскостей в стереометрии, если плоскость ($\alpha$) пересекает две другие пересекающиеся плоскости ($(ABC)$ и $(ADC)$), то линии их пересечения (в данном случае прямые $EF$ и $HG$) должны либо быть параллельными, либо пересекаться в точке, лежащей на линии пересечения исходных плоскостей (то есть на прямой $AC$).

5. Проанализируем изображение. На рисунке прямые $EF$ и $HG$ не изображены параллельными. Если их мысленно продолжить, они пересекутся в некоторой точке $M$.

6. Для того чтобы четырехугольник $EFGH$ был плоским, точка пересечения $M$ прямых $EF$ и $HG$ должна обязательно лежать на прямой $AC$.

7. Рисунок представляет собой проекцию трехмерной фигуры на плоскость. Проекция сохраняет свойство принадлежности точки прямой (коллинеарность). Это означает, что если в пространстве точка $M$ лежит на прямой $AC$, то на проекции точка пересечения проекций прямых $EF$ и $HG$ также должна лежать на проекции прямой $AC$.

8. Однако, если на рисунке продолжить отрезки $EF$ и $HG$ до их пересечения, то их точка пересечения очевидно не будет лежать на прямой $AC$. Визуально, точка пересечения этих прямых находится "перед" тетраэдром и не на прямой $AC$.

Таким образом, мы приходим к противоречию с необходимым условием того, чтобы точки $E, F, G, H$ лежали в одной плоскости. Из этого следует, что прямые $EF$ и $HG$ не могут лежать в одной плоскости, а значит, четырехугольник, изображенный на рисунке, не является плоским.

Ответ: Нет, четырехугольник, изображенный на рисунке, не может получиться в сечении тетраэдра плоскостью.