Номер 6.9, страница 43 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.9. Постройте сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $C$ и $D_1$ (рис. 6.16).

Рис. 6.16

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Секущая плоскость $\alpha$, проходящая через вершины A, C, $D_1$.

Найти:

Построить сечение призмы плоскостью $\alpha$.

Решение:

Построение искомого сечения будем выполнять пошагово, находя линии пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

1. Точки A и C принадлежат секущей плоскости и одновременно лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Следовательно, отрезок AC является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания и одной из сторон искомого сечения.

2. Основания призмы $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны. Секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — это прямая AC. Следовательно, линия пересечения с плоскостью верхнего основания — это прямая, проходящая через точку $D_1$ (которая принадлежит сечению по условию) и параллельная прямой AC.

3. Чтобы построить эту прямую, воспользуемся свойствами правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике диагональ, соединяющая вершины через одну (например, AC), параллельна диагонали, соединяющей две другие вершины, смещенные на одну позицию в том же направлении (в данном случае, FD). То есть, векторно это можно записать как $\vec{AC} = \vec{FD}$. По аналогии, для верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ диагональ $A_1C_1$ параллельна диагонали $F_1D_1$.

4. Поскольку искомая линия пересечения с верхним основанием проходит через точку $D_1$ и параллельна AC (а значит, и $A_1C_1$), то этой линией будет прямая $D_1F_1$. Таким образом, отрезок $D_1F_1$ является стороной сечения, лежащей в верхнем основании.

5. Теперь у нас есть четыре вершины сечения: A, C, $D_1$ и $F_1$. Соединим их последовательно, чтобы получить многоугольник сечения:

• Отрезок AC мы уже построили.
• Соединим C и $D_1$. Эти точки лежат в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Отрезок $CD_1$ является диагональю этой грани и, следовательно, стороной сечения.
• Отрезок $D_1F_1$ мы построили.
• Соединим $F_1$ и A. Эти точки лежат в плоскости боковой грани $AFF_1A_1$. Отрезок $F_1A$ является диагональю этой грани и замыкает многоугольник сечения.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $ACD_1F_1$.

Для дополнительной проверки и полноты решения можно использовать другой метод, основанный на параллельности боковых граней.

Боковые грани $CDD_1C_1$ и $AFF_1A_1$ параллельны, так как в правильной призме соответствующие стороны оснований параллельны ($CD \parallel AF$). Секущая плоскость $\alpha$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым.

• Линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $CDD_1C_1$ является отрезок $CD_1$ (так как точки C и $D_1$ лежат на этой грани).
• Следовательно, линия пересечения с параллельной ей гранью $AFF_1A_1$ должна быть параллельна отрезку $CD_1$ и проходить через точку A (которая лежит на этой грани).
• В правильной призме векторы $\vec{CD_1}$ и $\vec{AF_1}$ равны, так как их проекции на основание ($\vec{CD}$ и $\vec{AF}$) равны и сонаправлены, и их боковые ребра ($\vec{DD_1}$ и $\vec{FF_1}$) равны и параллельны. Значит, $CD_1 \parallel AF_1$.
• Таким образом, линия пересечения с гранью $AFF_1A_1$ — это отрезок $AF_1$. Это подтверждает, что точка $F_1$ является вершиной сечения, что совпадает с результатом, полученным первым способом.

Ответ:

Искомое сечение — четырехугольник $ACD_1F_1$. Его стороны проходят по граням призмы: AC — по нижнему основанию, $CD_1$ — по боковой грани $CDD_1C_1$, $D_1F_1$ — по верхнему основанию, $F_1A$ — по боковой грани $AFF_1A_1$.