Номер 6.2, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.2. Постройте сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$ (рис. 6.9).

6.3. Рис. 6.9

Решение

Для построения сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$, выполним следующие шаги, используя метод следов.

1. Точки $E$ и $F$ лежат в одной плоскости грани $ABC$. Проводим отрезок $EF$, который является следом секущей плоскости на грани $ABC$.

2. Точки $E$ и $G$ лежат в одной плоскости грани $ABD$. Проводим отрезок $EG$, который является следом секущей плоскости на грани $ABD$.

3. Для нахождения линии пересечения секущей плоскости с гранью $BCD$, найдем точку пересечения прямой, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью $(BCD)$. Прямые $EG$ и $BD$ лежат в одной плоскости $(ABD)$. Продлим их до пересечения в точке $H$.
$H = EG \cap BD$.
Точка $H$ принадлежит прямой $EG$, значит, она принадлежит секущей плоскости $(EFG)$.
Точка $H$ принадлежит прямой $BD$, значит, она принадлежит плоскости грани $(BCD)$.

4. Теперь у нас есть две точки, $F$ и $H$, которые одновременно принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани $BCD$. Следовательно, прямая $FH$ является линией их пересечения (следом секущей плоскости на плоскости $BCD$).

5. Проводим прямую $FH$. Точка, в которой эта прямая пересекает ребро $CD$, является четвертой вершиной сечения. Обозначим эту точку $K$.
$K = FH \cap CD$.
Соединяем точки $F$ и $K$. Отрезок $FK$ — это след секущей плоскости на грани $BCD$.

6. Точки $G$ и $K$ лежат в одной плоскости грани $ACD$ и принадлежат секущей плоскости. Соединяем их отрезком $GK$.

В результате последовательного соединения точек $E \rightarrow F \rightarrow K \rightarrow G \rightarrow E$ получаем искомое сечение — четырехугольник $EFKG$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $EFKG$, где точка $K$ — это точка пересечения ребра $CD$ с прямой, проведенной через точку $F$ и точку $H$ (точка $H$ является пересечением прямых $EG$ и $BD$).