Номер 5.24, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.24. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними гранями:
а) правильного тетраэдра;
б) октаэдра;
в) икосаэдра.

а) правильного тетраэдра

Дано: правильный тетраэдр, все рёбра которого равны $a$.

Найти: косинус двугранного угла $\alpha$ между его соседними гранями.

Решение:

Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр с ребром $a$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $BC$. Его образуют грани $ABC$ и $DBC$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Проведём в гранях $ABC$ и $DBC$ высоты к общему ребру $BC$. Пусть $M$ — середина ребра $BC$. Так как треугольники $ABC$ и $DBC$ равносторонние, их высоты $AM$ и $DM$, проведённые к стороне $BC$, будут также и медианами. Следовательно, $AM \perp BC$ и $DM \perp BC$.

Угол $\angle AMD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $DBC$. Обозначим этот угол $\alpha$.

Найдём длины сторон треугольника $AMD$. $AM$ и $DM$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AM = DM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона $AD$ является ребром тетраэдра, поэтому $AD = a$.

Теперь в треугольнике $AMD$ известны все три стороны. Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\alpha)$:

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:

$a^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (при $a \neq 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\alpha)$

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) октаэдра

Дано: правильный октаэдр, все рёбра которого равны $a$.

Найти: косинус двугранного угла $\beta$ между его соседними гранями.

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, все восемь граней которого являются равносторонними треугольниками. Его можно представить как две правильные четырёхугольные пирамиды, соединённые основаниями.

Пусть вершины октаэдра в экваториальной плоскости образуют квадрат $ABCD$, а две другие вершины — $S$ (верхняя) и $T$ (нижняя). Все рёбра октаэдра равны $a$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $SB$. Его образуют соседние грани $SAB$ и $SBC$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Проведём в гранях $SAB$ и $SBC$ высоты к общему ребру $SB$. Пусть $M$ — точка на ребре $SB$, такая что $AM \perp SB$. Так как треугольники $SAB$ и $SBC$ — равные равносторонние треугольники, то высота из вершины $C$ к стороне $SB$ также попадёт в точку $M$, т.е. $CM \perp SB$.

Угол $\angle AMC$ является линейным углом искомого двугранного угла. Обозначим этот угол $\beta$.

Найдём длины сторон треугольника $AMC$. $AM$ и $CM$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AM = CM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a$. Длина диагонали квадрата равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, $AC = a\sqrt{2}$.

Теперь в треугольнике $AMC$ известны все три стороны. Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\beta)$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\beta)$

Подставим известные значения:

$(a\sqrt{2})^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\beta)$

$2a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\beta)$

$2a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\beta)$

$2a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\beta)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (при $a \neq 0$):

$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\beta)$

$\frac{3}{2} \cos(\beta) = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3 - 4}{2} = -\frac{1}{2}$

$\cos(\beta) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

в) икосаэдра

Дано: правильный икосаэдр, все рёбра которого равны $a$.

Найти: косинус двугранного угла $\gamma$ между его соседними гранями.

Решение:

Правильный икосаэдр — это многогранник, все двадцать граней которого являются равносторонними треугольниками. В каждой вершине икосаэдра сходится пять рёбер (и пять граней).

Рассмотрим одну из вершин, назовём её $V$. Пусть $A, B, C, D, E$ — соседние с $V$ вершины, образующие основание "пирамиды" с вершиной $V$. Так как все рёбра икосаэдра равны $a$, то $VA=VB=...=VE=a$ и $AB=BC=...=EA=a$. Это означает, что $ABCDE$ — правильный пятиугольник со стороной $a$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $VB$. Его образуют соседние грани $VAB$ и $VBC$.

Построим линейный угол этого двугранного угла. В грани $VAB$ (равносторонний треугольник) проведём высоту $AM$ к стороне $VB$. В грани $VBC$ (также равносторонний треугольник) проведём высоту $CM$ к стороне $VB$. Так как $\triangle VAB \cong \triangle VBC$, высоты будут проведены к одной и той же точке $M$ на ребре $VB$.

Угол $\angle AMC$ является линейным углом искомого двугранного угла. Обозначим этот угол $\gamma$.

Найдём длины сторон треугольника $AMC$. $AM$ и $CM$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Их длина равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AM = CM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона $AC$ является диагональю правильного пятиугольника $ABCDE$ со стороной $a$. Длину диагонали правильного пятиугольника можно найти через золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Длина диагонали $d = a\phi$. Итак, $AC = a \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Теперь в треугольнике $AMC$ известны все три стороны. Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\gamma)$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\gamma)$

Подставим известные значения:

$\left(a \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\gamma)$

$a^2 \frac{(1+\sqrt{5})^2}{4} = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\gamma)$

$a^2 \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\gamma)$

$a^2 \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\gamma)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (при $a \neq 0$):

$\frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\gamma)$

$\frac{3}{2} \cos(\gamma) = \frac{3}{2} - \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3 - 3 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cos(\gamma) = -\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{3}$.