Номер 5.19, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.19. На листе бумаги в клетку изобразите октаэдр аналогично данному на рисунке 5.2. Отметьте центры граней октаэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного октаэдра равны 1.

Вершинами какого многогранника они являются?

Правильный октаэдр — это один из пяти платоновых тел. Он имеет 8 граней (являющихся равносторонними треугольниками), 12 ребер и 6 вершин. Если соединить центры всех граней правильного многогранника, получится другой правильный многогранник, называемый двойственным (или дуальным) к исходному.

Для правильного октаэдра двойственным многогранником является куб (гексаэдр). Это можно понять, сопоставив их элементы:

• У октаэдра 8 граней, следовательно, у двойственного многогранника будет 8 вершин.
• У октаэдра 6 вершин, следовательно, у двойственного многогранника будет 6 граней.
• У октаэдра 12 ребер, и у двойственного многогранника также будет 12 ребер.

Многогранник с 8 вершинами, 6 квадратными гранями и 12 ребрами — это куб. Таким образом, центры граней октаэдра являются вершинами куба.

Ответ: Вершины являются вершинами куба.

Найдите его ребро, если ребра исходного октаэдра равны 1.

Дано:

Ребро исходного октаэдра $a = 1$.

Найти:

Ребро полученного куба $b$.

Решение:

Для решения задачи разместим октаэдр в декартовой системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат $O(0,0,0)$, а вершины лежали на осях координат. Пусть расстояние от центра до любой вершины равно $d$. Вершины будут иметь координаты $(\pm d, 0, 0)$, $(0, \pm d, 0)$, $(0, 0, \pm d)$.

Найдем связь между $d$ и длиной ребра $a$. Ребро соединяет две соседние вершины, например, $V_1(d,0,0)$ и $V_3(0,d,0)$. Длина этого ребра $a$ вычисляется по теореме Пифагора:

$a = \sqrt{(d-0)^2 + (0-d)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{d^2+d^2} = \sqrt{2d^2} = d\sqrt{2}$

Отсюда $d = \frac{a}{\sqrt{2}}$. По условию $a=1$, значит, $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Итак, шесть вершин октаэдра имеют координаты:

$V_1(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0)$, $V_2(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0)$, $V_3(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$, $V_4(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$, $V_5(0, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$, $V_6(0, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Центр грани октаэдра (равностороннего треугольника) находится как среднее арифметическое координат его вершин. Ребро куба соединяет центры двух соседних граней октаэдра. Возьмем две соседние грани, например, грань $F_A$, образованную вершинами $V_1, V_3, V_5$, и грань $F_B$, образованную вершинами $V_2, V_3, V_5$. Эти грани имеют общее ребро $V_3V_5$. Центры этих граней, $C_A$ и $C_B$, являются соседними вершинами искомого куба.

Найдем координаты центра $C_A$ грани $F_A$:

$C_A = \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+0+0}{3}, \frac{0+\frac{1}{\sqrt{2}}+0}{3}, \frac{0+0+\frac{1}{\sqrt{2}}}{3}\right) = \left(\frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}\right)$

Найдем координаты центра $C_B$ грани $F_B$:

$C_B = \left(\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}+0+0}{3}, \frac{0+\frac{1}{\sqrt{2}}+0}{3}, \frac{0+0+\frac{1}{\sqrt{2}}}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}\right)$

Длина ребра куба $b$ — это расстояние между его соседними вершинами $C_A$ и $C_B$:

$b = |C_AC_B| = \sqrt{\left(\frac{1}{3\sqrt{2}} - \left(-\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)\right)^2 + \left(\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}}\right)^2}$

$b = \sqrt{\left(\frac{2}{3\sqrt{2}}\right)^2 + 0^2 + 0^2} = \frac{2}{3\sqrt{2}}$

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$b = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Более короткий путь решения — использовать векторы. Вектор, соединяющий центры $C_A$ и $C_B$, равен:

$\vec{C_AC_B} = C_B - C_A = \frac{V_2+V_3+V_5}{3} - \frac{V_1+V_3+V_5}{3} = \frac{V_2-V_1}{3}$

Длина ребра куба $b$ равна модулю этого вектора:

$b = |\vec{C_AC_B}| = \frac{|V_2-V_1|}{3}$

Длина вектора $|V_2-V_1|$ — это расстояние между противоположными вершинами октаэдра, то есть его большая диагональ. Она равна $2d = 2 \frac{a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$.

$b = \frac{a\sqrt{2}}{3}$

Подставляя $a=1$, получаем тот же результат:

$b = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: Ребро полученного куба равно $\frac{\sqrt{2}}{3}$.