Номер 5.12, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.12. Изобразите куб аналогично данному на рисунке 5.9. Отметьте центры граней куба. Вершинами какого многогранника они являются? Изобразите этот многогранник. Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Рис. 5.9

Сначала изобразим куб и отметим на нем центры каждой из шести его граней. Центр грани — это точка пересечения ее диагоналей. Соединив центры смежных граней, мы получим новый многогранник.

Вершинами какого многогранника они являются? Изобразите этот многогранник.
Поскольку у куба 6 граней, у полученного многогранника будет 6 вершин. Каждая грань куба имеет четыре смежные грани, поэтому каждая вершина нового многогранника будет соединена с четырьмя другими вершинами. Многогранник с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями, каждая из которых является равносторонним треугольником, называется правильным октаэдром. Этот октаэдр вписан в куб, его вершины — это центры граней куба. Он представляет собой две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные общим основанием.

Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Дано:
Исходная фигура — куб.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:
Длину ребра $b$ октаэдра.

Решение:
Ребро октаэдра соединяет центры двух смежных граней куба. Возьмем для примера нижнюю и переднюю грани куба. Пусть $O_1$ — центр нижней грани, а $O_2$ — центр передней грани. Длина отрезка $O_1O_2$ и есть искомая длина ребра октаэдра $b$.

Рассмотрим простой геометрический способ нахождения этой длины. Введем точку $M$ — середину общего ребра этих двух граней.

В нижней грани (которая является квадратом) отрезок $O_1M$ соединяет центр квадрата $O_1$ с серединой стороны $M$. Длина этого отрезка равна половине длины перпендикулярной стороны квадрата, то есть $O_1M = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

Аналогично, в передней грани (также квадрат) отрезок $O_2M$ соединяет ее центр $O_2$ с серединой стороны $M$. Его длина также равна половине ребра куба: $O_2M = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

Нижняя и передняя грани куба взаимно перпендикулярны. Следовательно, отрезки $O_1M$ и $O_2M$ также перпендикулярны друг другу. Это означает, что треугольник $\triangle O_1MO_2$ является прямоугольным, где $O_1M$ и $O_2M$ — катеты, а $O_1O_2$ — гипотенуза.

По теореме Пифагора:
$b^2 = (O_1M)^2 + (O_2M)^2$
Подставляем числовые значения:
$b^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину ребра $b$:
$b = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра. Если ребро исходного куба равно 1, то ребро этого октаэдра равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.