Номер 5.13, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.13. На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 5.10. Отметьте середины ребер тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

Рис. 5.10

Вершинами какого многогранника они являются?

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$, все ребра которого равны $a$. У тетраэдра 6 ребер: $AB, AC, AD, BC, BD, CD$. Отметим середины этих ребер. Эти 6 точек будут вершинами нового многогранника.

Рассмотрим грани нового многогранника. Они бывают двух типов:

1. Грани, образованные "срезанием" вершин исходного тетраэдра. Возьмем вершину $A$ тетраэдра. К ней примыкают три ребра: $AB, AC, AD$. Их середины — точки $M_{AB}, M_{AC}, M_{AD}$. Эти три точки образуют треугольник. Стороны этого треугольника являются средними линиями граней-треугольников $ABC, ABD, ACD$. Например, отрезок $M_{AB}M_{AC}$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины основания: $|M_{AB}M_{AC}| = \frac{1}{2}|BC| = \frac{a}{2}$. Аналогично, $|M_{AB}M_{AD}| = \frac{1}{2}|BD| = \frac{a}{2}$ и $|M_{AC}M_{AD}| = \frac{1}{2}|CD| = \frac{a}{2}$. Так как все ребра исходного тетраэдра равны $a$, то все стороны треугольника $M_{AB}M_{AC}M_{AD}$ равны $\frac{a}{2}$. Следовательно, это равносторонний треугольник. Таких треугольников 4 (по одному для каждой вершины $A, B, C, D$).

2. Грани, параллельные граням исходного тетраэдра. Возьмем грань $ABC$. На ее сторонах лежат три середины ребер: $M_{AB}, M_{BC}, M_{AC}$. Они образуют равносторонний треугольник со стороной $\frac{a}{2}$, так как все его стороны являются средними линиями треугольника $ABC$. Таких треугольников тоже 4 (по одному для каждой грани $ABC, ABD, ACD, BCD$).

В итоге мы получаем многогранник, у которого 6 вершин (середины ребер), 12 ребер (все равны $\frac{a}{2}$) и 8 граней (все являются равносторонними треугольниками). Такой многогранник называется октаэдром (в данном случае, правильным октаэдром).

Ответ: Середины ребер тетраэдра являются вершинами октаэдра (правильного восьмигранника).

Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

Дано:

Исходный многогранник — правильный тетраэдр.
Длина ребра тетраэдра $a = 1$.

Найти:

Длину ребра нового многогранника (октаэдра) $b$.

Решение:

Как было показано выше, ребра нового многогранника (октаэдра) соединяют середины смежных ребер исходного тетраэдра.
Рассмотрим любую грань тетраэдра, например, грань $ABC$. Это равносторонний треугольник со стороной $a=1$.
Ребро октаэдра, например, соединяет середину ребра $AB$ (точку $M_{AB}$) и середину ребра $BC$ (точку $M_{BC}$).
Отрезок $M_{AB}M_{BC}$ является средней линией треугольника $ABC$.
По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В нашем случае, она параллельна стороне $AC$.
Длина ребра октаэдра $b$ равна:
$b = |M_{AB}M_{BC}| = \frac{1}{2}|AC| = \frac{1}{2}a$
Подставляем известное значение $a=1$:
$b = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$

Ответ: 0.5.