Страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.11. Изобразите куб аналогично данному на рисунке 5.9. Вершинами какого многогранника являются вершины $A$, $C$, $B_1$, $D_1$ этого куба? Изобразите этот многогранник. Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Рис. 5.9

Вершинами какого многогранника являются вершины A, C, B₁, D₁ этого куба?

Многогранник, вершинами которого являются точки A, C, B₁, D₁ куба, — это тетраэдр (или треугольная пирамида). Его ребрами служат диагонали шести граней куба: AC, B₁D₁, AB₁, CD₁, AD₁, CB₁. Так как все грани куба являются равными квадратами, то и их диагонали равны между собой. Следовательно, все шесть ребер этого тетраэдра имеют одинаковую длину. Такой тетраэдр называется правильным тетраэдром.
Ответ: Правильный тетраэдр.

Изобразите этот многогранник.

На рисунке ниже изображен исходный куб (серыми линиями) и вписанный в него правильный тетраэдр AC B₁ D₁ (черными линиями).

Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Дано:
Куб с ребром $a = 1$.

Найти:
Длину ребра $b$ тетраэдра с вершинами A, C, B₁, D₁.

Решение:
Все ребра тетраэдра являются диагоналями граней куба. Найдем длину любого из них, например, ребра AC, которое является диагональю квадрата ABCD в основании куба. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. Его катеты $AB$ и $BC$ равны ребру куба, то есть $AB = BC = a = 1$. Гипотенуза $AC$ является ребром тетраэдра, обозначим ее длину как $b$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ $b^2 = a^2 + a^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$ Отсюда находим длину ребра тетраэдра: $b = \sqrt{2}$
Ответ: Длина ребра тетраэдра равна $\sqrt{2}$.

5.12. Изобразите куб аналогично данному на рисунке 5.9. Отметьте центры граней куба. Вершинами какого многогранника они являются? Изобразите этот многогранник. Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Рис. 5.9

Сначала изобразим куб и отметим на нем центры каждой из шести его граней. Центр грани — это точка пересечения ее диагоналей. Соединив центры смежных граней, мы получим новый многогранник.

Вершинами какого многогранника они являются? Изобразите этот многогранник.
Поскольку у куба 6 граней, у полученного многогранника будет 6 вершин. Каждая грань куба имеет четыре смежные грани, поэтому каждая вершина нового многогранника будет соединена с четырьмя другими вершинами. Многогранник с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями, каждая из которых является равносторонним треугольником, называется правильным октаэдром. Этот октаэдр вписан в куб, его вершины — это центры граней куба. Он представляет собой две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные общим основанием.

Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Дано:
Исходная фигура — куб.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:
Длину ребра $b$ октаэдра.

Решение:
Ребро октаэдра соединяет центры двух смежных граней куба. Возьмем для примера нижнюю и переднюю грани куба. Пусть $O_1$ — центр нижней грани, а $O_2$ — центр передней грани. Длина отрезка $O_1O_2$ и есть искомая длина ребра октаэдра $b$.

Рассмотрим простой геометрический способ нахождения этой длины. Введем точку $M$ — середину общего ребра этих двух граней.

В нижней грани (которая является квадратом) отрезок $O_1M$ соединяет центр квадрата $O_1$ с серединой стороны $M$. Длина этого отрезка равна половине длины перпендикулярной стороны квадрата, то есть $O_1M = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

Аналогично, в передней грани (также квадрат) отрезок $O_2M$ соединяет ее центр $O_2$ с серединой стороны $M$. Его длина также равна половине ребра куба: $O_2M = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

Нижняя и передняя грани куба взаимно перпендикулярны. Следовательно, отрезки $O_1M$ и $O_2M$ также перпендикулярны друг другу. Это означает, что треугольник $\triangle O_1MO_2$ является прямоугольным, где $O_1M$ и $O_2M$ — катеты, а $O_1O_2$ — гипотенуза.

По теореме Пифагора:
$b^2 = (O_1M)^2 + (O_2M)^2$
Подставляем числовые значения:
$b^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину ребра $b$:
$b = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра. Если ребро исходного куба равно 1, то ребро этого октаэдра равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

5.13. На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 5.10. Отметьте середины ребер тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

Рис. 5.10

Вершинами какого многогранника они являются?

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$, все ребра которого равны $a$. У тетраэдра 6 ребер: $AB, AC, AD, BC, BD, CD$. Отметим середины этих ребер. Эти 6 точек будут вершинами нового многогранника.

Рассмотрим грани нового многогранника. Они бывают двух типов:

1. Грани, образованные "срезанием" вершин исходного тетраэдра. Возьмем вершину $A$ тетраэдра. К ней примыкают три ребра: $AB, AC, AD$. Их середины — точки $M_{AB}, M_{AC}, M_{AD}$. Эти три точки образуют треугольник. Стороны этого треугольника являются средними линиями граней-треугольников $ABC, ABD, ACD$. Например, отрезок $M_{AB}M_{AC}$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины основания: $|M_{AB}M_{AC}| = \frac{1}{2}|BC| = \frac{a}{2}$. Аналогично, $|M_{AB}M_{AD}| = \frac{1}{2}|BD| = \frac{a}{2}$ и $|M_{AC}M_{AD}| = \frac{1}{2}|CD| = \frac{a}{2}$. Так как все ребра исходного тетраэдра равны $a$, то все стороны треугольника $M_{AB}M_{AC}M_{AD}$ равны $\frac{a}{2}$. Следовательно, это равносторонний треугольник. Таких треугольников 4 (по одному для каждой вершины $A, B, C, D$).

2. Грани, параллельные граням исходного тетраэдра. Возьмем грань $ABC$. На ее сторонах лежат три середины ребер: $M_{AB}, M_{BC}, M_{AC}$. Они образуют равносторонний треугольник со стороной $\frac{a}{2}$, так как все его стороны являются средними линиями треугольника $ABC$. Таких треугольников тоже 4 (по одному для каждой грани $ABC, ABD, ACD, BCD$).

В итоге мы получаем многогранник, у которого 6 вершин (середины ребер), 12 ребер (все равны $\frac{a}{2}$) и 8 граней (все являются равносторонними треугольниками). Такой многогранник называется октаэдром (в данном случае, правильным октаэдром).

Ответ: Середины ребер тетраэдра являются вершинами октаэдра (правильного восьмигранника).

Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

Дано:

Исходный многогранник — правильный тетраэдр.
Длина ребра тетраэдра $a = 1$.

Найти:

Длину ребра нового многогранника (октаэдра) $b$.

Решение:

Как было показано выше, ребра нового многогранника (октаэдра) соединяют середины смежных ребер исходного тетраэдра.
Рассмотрим любую грань тетраэдра, например, грань $ABC$. Это равносторонний треугольник со стороной $a=1$.
Ребро октаэдра, например, соединяет середину ребра $AB$ (точку $M_{AB}$) и середину ребра $BC$ (точку $M_{BC}$).
Отрезок $M_{AB}M_{BC}$ является средней линией треугольника $ABC$.
По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В нашем случае, она параллельна стороне $AC$.
Длина ребра октаэдра $b$ равна:
$b = |M_{AB}M_{BC}| = \frac{1}{2}|AC| = \frac{1}{2}a$
Подставляем известное значение $a=1$:
$b = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$

Ответ: 0.5.

ребра исходного тетраэдра равны 1.

5.14. От каждой вершины тетраэдра с ребром 2 см отсекается тетраэдр с ребром 1 см. Какой многогранник останется? Найдите его ребро.

Дано:

Исходный многогранник - правильный тетраэдр.
Длина ребра исходного тетраэдра $a_{исх} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.
Отсекаемый многогранник - правильный тетраэдр.
Длина ребра отсекаемого тетраэдра $a_{отс} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

1. Какой многогранник останется?
2. Длину ребра оставшегося многогранника ($a_{ост}$).

Решение:

Исходный многогранник — это правильный тетраэдр, у которого 4 вершины, 6 ребер одинаковой длины и 4 грани в форме равносторонних треугольников.

Согласно условию, от каждой из 4 вершин отсекается малый тетраэдр с ребром 1 см. Рассмотрим процесс отсечения у одной из вершин исходного тетраэдра. Из этой вершины выходят три ребра длиной по 2 см. Отсечение тетраэдра с ребром 1 см означает, что срез производится плоскостью, которая пересекает эти три ребра на расстоянии 1 см от вершины.

Поскольку длина каждого ребра исходного тетраэдра составляет 2 см, точка среза на каждом ребре находится ровно посередине этого ребра ($1 \text{ см} = 2 \text{ см} / 2$).

Таким образом, отсечение малых тетраэдров от всех четырех вершин приводит к тому, что от исходного тетраэдра остаются только его центральная часть. Вершинами нового, оставшегося многогранника, будут являться середины всех 6 ребер исходного тетраэдра.

Многогранник, вершинами которого служат середины ребер правильного тетраэдра, является правильным октаэдром. Октаэдр — это многогранник с 8 гранями, 12 ребрами и 6 вершинами. Каждая грань правильного октаэдра — это равносторонний треугольник.

Теперь определим длину ребра получившегося октаэдра. Ребра этого октаэдра соединяют середины смежных ребер исходного тетраэдра. Рассмотрим любую грань исходного тетраэдра. Эта грань — равносторонний треугольник со стороной $a_{исх} = 2$ см. Ребра октаэдра, которые лежат в плоскости этой грани, соединяют середины ее сторон. Следовательно, каждое такое ребро является средней линией этого треугольника.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Значит, длина ребра оставшегося многогранника (октаэдра) вычисляется как: $a_{ост} = \frac{a_{исх}}{2}$ $a_{ост} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Все ребра получившегося октаэдра будут иметь такую длину.

Ответ: Оставшийся многогранник — правильный октаэдр, длина его ребра равна 1 см.

с ребром 1см. Какой многогранник останется. Найдите его ребро,

5.15. Ребро октаэдра равно 1. Определите расстояние между его противолежащими вершинами.

Дано:

Правильный октаэдр

Длина ребра, $a = 1$

Найти:

Расстояние между противолежащими вершинами, $d$

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, которые являются равносторонними треугольниками. Октаэдр имеет 6 вершин, которые образуют 3 пары противолежащих (диаметрально противоположных) вершин. В силу симметрии фигуры, расстояние между вершинами в каждой из трех пар одинаково.

Рассмотрим сечение октаэдра, проходящее через его центр и четыре вершины. Такое сечение является квадратом, стороны которого — это ребра октаэдра. Обозначим вершины этого квадрата как $A, B, C, D$.

Две пары противолежащих вершин октаэдра, а именно $(A, C)$ и $(B, D)$, являются также противолежащими вершинами этого квадрата. Расстояние между ними равно длине диагонали квадрата. Сторона этого квадрата равна длине ребра октаэдра $a$.

Для нахождения длины диагонали $d$ (которая и есть искомое расстояние) воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$, где катеты $AB$ и $BC$ являются сторонами квадрата, а гипотенуза $AC$ — его диагональю.

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Так как $AB = BC = a$, то:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Отсюда находим длину диагонали $d$:

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим в формулу заданное значение длины ребра $a = 1$:

$d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$

Таким образом, расстояние между любыми двумя противолежащими вершинами октаэдра равно $\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

5.16. Сколько имеется путей длиной 2 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

Дано:

Геометрическое тело: единичный октаэдр.

Длина ребра октаэдра: $a = 1$ см.

Длина пути по ребрам: $L = 2$ см.

Начало пути: некоторая вершина $A$.

Конец пути: вершина $B$, противоположная вершине $A$.

Найти:

Количество $N$ таких путей.

Решение:

Единичный октаэдр — это правильный многогранник, имеющий 6 вершин, 12 ребер и 8 граней (правильных треугольников). В единичном октаэдре все ребра имеют одинаковую длину. Согласно условию, речь идет о "единичном" октаэдре и путях длиной 2 см, что позволяет заключить, что длина каждого ребра составляет 1 см.

Путь длиной 2 см по ребрам октаэдра должен состоять ровно из двух последовательных ребер. Такой путь можно представить в виде последовательности трех вершин: $A \rightarrow M \rightarrow B$, где $A$ — начальная вершина, $B$ — конечная вершина, а $M$ — промежуточная вершина.

По условию задачи, начальная вершина $A$ и конечная вершина $B$ должны быть противоположными. В октаэдре для каждой вершины существует ровно одна противоположная ей вершина. Противоположные вершины не соединены ребром и являются наиболее удаленными друг от друга.

Для того чтобы существовал путь $A \rightarrow M \rightarrow B$, промежуточная вершина $M$ должна быть соединена ребром как с начальной вершиной $A$, так и с конечной вершиной $B$. Иными словами, вершина $M$ должна быть общим соседом для вершин $A$ и $B$.

Рассмотрим строение октаэдра. Его можно представить как две правильные четырехгранные пирамиды, соединенные своими квадратными основаниями. У октаэдра 6 вершин. Выберем произвольную вершину в качестве "верхней" и обозначим ее $T$. Противоположная ей вершина будет "нижней", обозначим ее $B_{bottom}$. Остальные четыре вершины лежат в одной плоскости между $T$ и $B_{bottom}$ и образуют квадрат. Назовем их "экваториальными" вершинами: $E_1, E_2, E_3, E_4$.

Каждая вершина в октаэдре соединена ребрами с четырьмя другими вершинами (то есть степень каждой вершины равна 4). "Верхняя" вершина $T$ соединена со всеми четырьмя экваториальными вершинами $\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$. Аналогично, "нижняя" вершина $B_{bottom}$ также соединена со всеми четырьмя экваториальными вершинами.

Пусть наш путь начинается в вершине $A=T$ и заканчивается в противоположной ей вершине $B=B_{bottom}$. Промежуточная вершина $M$ должна быть соседней и для $T$, и для $B_{bottom}$.

Множество вершин, соседних с $T$, это $\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$.

Множество вершин, соседних с $B_{bottom}$, это также $\{E_1, E_2, E_3, E_4\}$.

Общими соседями для $T$ и $B_{bottom}$ являются все четыре экваториальные вершины. Следовательно, любая из них может служить промежуточной вершиной $M$ на пути из $T$ в $B_{bottom}$.

Таким образом, существует ровно 4 различных пути длиной в два ребра из вершины $T$ в вершину $B_{bottom}$:

1. $T \rightarrow E_1 \rightarrow B_{bottom}$

2. $T \rightarrow E_2 \rightarrow B_{bottom}$

3. $T \rightarrow E_3 \rightarrow B_{bottom}$

4. $T \rightarrow E_4 \rightarrow B_{bottom}$

Так как октаэдр является симметричной фигурой, этот результат не зависит от выбора начальной пары противоположных вершин. Для любой пары противоположных вершин количество таких путей будет одинаковым.

Ответ: 4.