Страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.4. На листе бумаги в клетку изобразите октаэдр аналогично данному на рисунке 5.2.

Рис. 5.2

Решение

Для того чтобы изобразить октаэдр на листе бумаги в клетку, как показано на рисунке, необходимо выполнить следующие шаги. За единицу измерения примем сторону одной клетки. Для удобства можно использовать область рисования размером 8 клеток в ширину и 7 клеток в высоту.

Шаг 1: Определение вершин многогранника

Сначала нужно отметить на сетке 6 вершин будущего октаэдра. Удобно задать их координаты, считая от левого нижнего угла области рисования (где первая цифра - смещение по горизонтали, а вторая - по вертикали):

- Нижняя вершина: координаты (4, 0) — отступите 4 клетки вправо по нижнему краю.

- Верхняя вершина: координаты (4, 6) — отступите 4 клетки вправо и 6 клеток вверх.

- Левая вершина: координаты (1, 3) — отступите 1 клетку вправо и 3 клетки вверх.

- Правая вершина: координаты (7, 3) — отступите 7 клеток вправо и 3 клетки вверх.

- Ближняя к нам вершина: координаты (5, 2) — отступите 5 клеток вправо и 2 клетки вверх.

- Дальняя от нас вершина: координаты (3, 4) — отступите 3 клетки вправо и 4 клетки вверх.

Шаг 2: Построение видимых рёбер

Соедините сплошной линией те рёбра, которые находятся на переднем плане и видны наблюдателю. Это рёбра, образующие внешний контур фигуры, а также рёбра, сходящиеся в ближней вершине:

- Верхнюю вершину (4, 6) соедините с левой (1, 3), правой (7, 3) и ближней (5, 2) вершинами.

- Нижнюю вершину (4, 0) соедините с левой (1, 3), правой (7, 3) и ближней (5, 2) вершинами.

- Соедините ближнюю вершину (5, 2) с левой (1, 3) и правой (7, 3) вершинами.

Шаг 3: Построение невидимых рёбер

Рёбра, которые скрыты от взгляда другими гранями, изображаются пунктирной линией. В данном случае это рёбра, которые соединяются в дальней вершине (3, 4):

- Дальнюю вершину (3, 4) соедините пунктиром с верхней (4, 6), нижней (4, 0), левой (1, 3) и правой (7, 3) вершинами.

Ответ:

В результате выполнения этих шагов вы получите изображение октаэдра, аналогичное представленному в задании. Ниже приведено итоговое изображение, построенное по данным инструкциям на сетке 8x7.

5.5. На листе бумаги в клетку изобразите икосаэдр аналогично данному на рисунке 5.3.

Рис. 5.3

Решение

Для того чтобы нарисовать икосаэдр на бумаге в клетку, аналогично представленному на рисунке, следуйте пошаговой инструкции. Удобнее всего выполнять рисунок в воображаемой сетке размером 8х8 клеток.

Шаг 1: Разметка вершин

Сначала необходимо отметить на листе бумаги 12 вершин икосаэдра. Примем левый нижний угол сетки 8х8 за точку с координатами (0, 0).

Координаты вершин:

• Верхняя вершина (полюс): V1 = (4, 8)
• Нижняя вершина (полюс): V2 = (4, 0)
• Вершины внешнего контура:
  • V3 = (1, 6)
  • V4 = (7, 6)
  • V5 = (1, 2)
  • V6 = (7, 2)
  • V7 = (0, 4)
  • V8 = (8, 4)
• Внутренние (скрытые) вершины:
  • V9 = (2, 3)
  • V10 = (6, 3)
  • V11 = (4, 5)
  • V12 = (4, 3)

После разметки у вас должно получиться 12 точек, расположенных как на схеме ниже:

Шаг 2: Рисование видимых рёбер (сплошные линии)

Соедините сплошными линиями следующие пары вершин, чтобы сформировать видимую часть икосаэдра:

• (4, 8) ↔ (1, 6)
• (4, 8) ↔ (7, 6)
• (4, 0) ↔ (1, 2)
• (4, 0) ↔ (7, 2)
• (1, 6) ↔ (7, 6)
• (1, 2) ↔ (7, 2)
• (1, 6) ↔ (0, 4)
• (0, 4) ↔ (1, 2)
• (7, 6) ↔ (8, 4)
• (8, 4) ↔ (7, 2)
• (1, 6) ↔ (1, 2)
• (7, 6) ↔ (7, 2)
• (1, 6) ↔ (7, 2)
• (7, 6) ↔ (1, 2)

Шаг 3: Рисование невидимых рёбер (пунктирные линии)

Теперь соедините оставшиеся пары вершин пунктирными линиями, чтобы завершить построение икосаэдра. Эти линии представляют рёбра, которые скрыты от наблюдателя.

• (4, 8) ↔ (4, 5)
• (4, 8) ↔ (2, 3)
• (4, 8) ↔ (6, 3)
• (4, 0) ↔ (4, 3)
• (4, 0) ↔ (0, 4)
• (4, 0) ↔ (8, 4)
• (1, 6) ↔ (4, 5)
• (7, 6) ↔ (4, 5)
• (1, 2) ↔ (2, 3)
• (7, 2) ↔ (6, 3)
• (0, 4) ↔ (2, 3)
• (8, 4) ↔ (6, 3)
• (4, 5) ↔ (2, 3)
• (4, 5) ↔ (6, 3)
• (4, 3) ↔ (2, 3)
• (4, 3) ↔ (6, 3)

После выполнения всех шагов у вас получится изображение икосаэдра, полностью соответствующее рисунку 5.3 из задания.

Ответ: Выполнение описанных выше шагов по разметке вершин и соединению их сплошными и пунктирными линиями в указанном порядке позволит изобразить икосаэдр на листе бумаги в клетку, аналогично данному на рисунке.

5.6. На листе бумаги в клетку изобразите додекаэдр аналогично данному на рисунке 5.4.

Рис. 5.4

Для того чтобы изобразить додекаэдр на листе бумаги в клетку, как показано на рисунке, можно выполнить построение по точкам. За начало координат (0,0) примем левый нижний узел сетки на воображаемом поле размером 10x8 клеток.

Построение удобно разделить на три этапа: создание видимого внешнего контура, прорисовка видимых внутренних рёбер и, наконец, добавление невидимых (скрытых) рёбер пунктирной линией.

Шаг 1: Построение видимого внешнего контура

Внешний контур представляет собой десятиугольник. Соедините последовательно сплошной линией точки со следующими координатами:

1. Начните с верхнего ребра, соединив точку (4, 8) с точкой (6, 8).
2. От (6, 8) проведите линию к (7, 7).
3. От (7, 7) проведите линию к (9, 5).
4. От (9, 5) проведите вертикальную линию вниз к (9, 2).
5. От (9, 2) проведите линию к (7, 0).
6. От (7, 0) проведите горизонтальную линию влево к (3, 0).
7. От (3, 0) проведите линию к (1, 2).
8. От (1, 2) проведите вертикальную линию вверх к (1, 5).
9. От (1, 5) проведите линию к (3, 7).
10. Замкните контур, соединив (3, 7) с начальной точкой (4, 8).

В результате вы получите внешний контур додекаэдра.

Шаг 2: Построение видимых внутренних рёбер

Теперь необходимо нарисовать внутренние рёбра, которые также являются видимыми и рисуются сплошной линией. Эти рёбра соединяют вершины внешнего контура с вершинами центральной "звезды".

Соединительные рёбра ("спицы"):

Проведите 10 отрезков, соединяющих вершины внешнего контура с пятью внутренними вершинами:

• От вершин (4, 8) и (6, 8) проведите линии к точке (5, 6).
• От вершин (7, 7) и (9, 5) проведите линии к точке (7, 5).
• От вершин (9, 2) и (7, 0) проведите линии к точке (6, 2).
• От вершин (3, 0) и (1, 2) проведите линии к точке (4, 2).
• От вершин (1, 5) и (3, 7) проведите линии к точке (3, 5).

Рёбра внутренней "звезды":

Соедините пять полученных внутренних вершин между собой:

• (5, 6) c (7, 5)
• (7, 5) c (6, 2)
• (6, 2) c (4, 2)
• (4, 2) c (3, 5)
• (3, 5) c (5, 6)

На этом этапе все видимые части додекаэдра нарисованы.

Шаг 3: Построение невидимых (скрытых) рёбер

Последний шаг — изображение рёбер, которые скрыты от наблюдателя. Они рисуются пунктирной линией. Эти рёбра образуют заднюю грань-пятиугольник и соединяют её с видимой частью фигуры.

Задний пятиугольник (пунктирные линии):

Соедините пунктиром следующие точки, образуя пятиугольник:

• (5, 7) c (7, 6)
• (7, 6) c (6, 4)
• (6, 4) c (4, 4)
• (4, 4) c (3, 6)
• (3, 6) c (5, 7)

Соединительные пунктирные линии:

Соедините вершины только что нарисованного заднего пятиугольника с вершинами внутренней "звезды":

• (5, 7) c (5, 6)
• (7, 6) c (7, 5)
• (6, 4) c (6, 2)
• (4, 4) c (4, 2)
• (3, 6) c (3, 5)

Ответ: Выполнив все шаги, вы получите на листе в клетку изображение додекаэдра, полностью аналогичное представленному на рисунке 5.4. Ключевым моментом является точное позиционирование вершин в узлах сетки согласно указанным координатам.

5.7. Сколько тетраэдров изображено на рисунке 5.5?

Рис. 5.5

Решение

На рисунке 5.5 изображён звёздчатый октаэдр, также известный как stella octangula. Чтобы определить, сколько тетраэдров изображено, необходимо проанализировать геометрическую структуру этой фигуры.

Во-первых, эта фигура представляет собой соединение двух больших одинаковых правильных тетраэдров, которые взаимопроникают друг в друга. Их общая часть образует октаэдр в центре. Таким образом, мы можем выделить 2 больших тетраэдра, которые формируют всю фигуру.

Во-вторых, звёздчатый октаэдр можно рассматривать как центральный октаэдр, к каждой из 8 граней которого пристроен меньший по размеру правильный тетраэдр. Эти 8 малых тетраэдров образуют видимые "лучи" или "шипы" звезды. Эти малые тетраэдры являются частями двух больших тетраэдров, которые выступают за пределы их общей области пересечения.

Вопрос "Сколько тетраэдров изображено?" обычно подразумевает подсчёт всех фигур данного типа, которые можно выделить на чертеже. В данном случае это и 2 больших составных тетраэдра, и 8 малых тетраэдров-"лучей". Следовательно, общее количество тетраэдров равно их сумме:

$2 \text{ (больших)} + 8 \text{ (малых)} = 10$

Ответ: На рисунке изображено 10 тетраэдров.

5.8. Сколько октаэдров изображено на рисунке 5.6?

Рис. 5.6

На рисунке изображено известное в геометрии соединение, состоящее из нескольких одинаковых правильных октаэдров, которые пересекаются в общем центре. Чтобы определить их количество, можно провести следующий анализ.

Октаэдр — это правильный многогранник, имеющий 8 треугольных граней, 12 рёбер и 6 вершин. Острые выступы ("шипы") на изображённой фигуре являются вершинами этих октаэдров.

Все вершины данного соединения лежат на поверхности воображаемой сферы и совпадают с вершинами полуправильного многогранника, который называется икосододекаэдр. У икосододекаэдра ровно 30 вершин.

В этом соединении, которое является одним из пяти правильных соединений многогранников, октаэдры расположены так, что ни одна вершина не принадлежит одновременно двум или более октаэдрам. Следовательно, общее число вершин фигуры равно произведению количества октаэдров на число вершин у одного октаэдра.

Пусть $N$ — искомое количество октаэдров. Зная, что общее число вершин равно 30, а у одного октаэдра их 6, можно составить уравнение:

$N \times 6 = 30$

Отсюда находим $N$:

$N = \frac{30}{6} = 5$

Таким образом, на рисунке изображено 5 октаэдров.

Ответ: 5.

5.9. Соединение каких двух многогранников изображено на рисунке 5.7?

Рис. 5.7

Решение

На рисунке 5.7 изображена геометрическая фигура, которая является соединением (или композицией) двух многогранников с общим центром. Чтобы определить, что это за многогранники, необходимо проанализировать структуру фигуры, её вершины, рёбра и грани.

1. Первый многогранник можно узнать, рассмотрев центральную часть фигуры. Мы видим 6 вершин, в каждой из которых сходятся 4 ребра, образующие 4 треугольные грани. Эти 6 вершин и 8 треугольных граней образуют правильный октаэдр (восьмигранник).

2. Второй многогранник образуют 8 выступающих вершин ("шипов"). Если мысленно соединить эти 8 вершин рёбрами, получится куб (гексаэдр). Рёбра и грани этого куба пересекаются с рёбрами и гранями октаэдра.

Куб и октаэдр являются двойственными (дуальными) многогранниками. Это означает, что число вершин одного равно числу граней другого, и наоборот. У куба 8 вершин и 6 граней, а у октаэдра 6 вершин и 8 граней. В показанном соединении вершины одного многогранника расположены над центрами граней другого. Такое соединение является одним из звёздчатых многогранников, а именно, первой и единственной звёздчатой формой кубооктаэдра.

Следовательно, на рисунке показано соединение куба и октаэдра.

Ответ: На рисунке изображено соединение куба и октаэдра.

5.10. Соединение каких двух многогранников изображено на рисунке 5.8?

Рис. 5.8

Решение

На рисунке 5.8 изображено соединение двух правильных многогранников (Платоновых тел), которые являются двойственными (дуальными) друг другу: правильного икосаэдра и правильного додекаэдра.

Чтобы определить это, можно проанализировать вершины (углы) изображённой фигуры. В ней присутствуют два типа вершин:

Первый тип — это вершины, в которых сходится по 5 рёбер. Таких вершин в фигуре 12, и они образуют каркас икосаэдра. В данном соединении они являются внутренними, "утопленными" вершинами.

Второй тип — это вершины, в которых сходится по 3 ребра. Таких вершин 20, и они образуют каркас додекаэдра. В данном соединении они являются внешними, наиболее выступающими точками (шипами).

Таким образом, представленная фигура является классическим соединением двух двойственных многогранников, имеющих общий центр.

Ответ: Соединение правильного икосаэдра и правильного додекаэдра.