Страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Используя свойства выпуклых многогранных углов, самостоятельно докажите, что в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти.

Решение

Для доказательства воспользуемся свойством выпуклого многогранного угла, которое гласит, что сумма всех его плоских углов меньше $360^\circ$.

Пусть в некоторой вершине выпуклого многогранника сходятся $k$ граней, каждая из которых является правильным $n$-угольником. Для образования многогранного угла необходимо, чтобы в одной вершине сходилось как минимум три грани, следовательно, $k \ge 3$.

Плоские углы многогранного угла в данном случае — это внутренние углы правильных $n$-угольников. Величина внутреннего угла $\alpha_n$ правильного $n$-угольника определяется формулой:

$\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Сумма плоских углов $S$ в рассматриваемой вершине равна произведению числа сходящихся граней $k$ на величину угла $\alpha_n$:

$S = k \cdot \alpha_n$

Согласно свойству выпуклого многогранного угла, должно выполняться неравенство:

$k \cdot \alpha_n < 360^\circ$

Предположим, что в вершинах многогранника могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон $n > 5$, то есть $n \ge 6$.

Рассмотрим наименьшее из этих значений, $n=6$ (правильный шестиугольник). Внутренний угол правильного шестиугольника равен:

$\alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$

Так как $k \ge 3$, то наименьшая возможная сумма плоских углов в вершине будет при $k=3$:

$S_{min} = 3 \cdot \alpha_6 = 3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$

Полученная сумма $S_{min} = 360^\circ$ уже не удовлетворяет строгому неравенству $S < 360^\circ$. Это означает, что три правильных шестиугольника не могут образовать вершину выпуклого многогранника (они просто покроют плоскость без зазора), а четыре или более — тем более не могут.

Теперь рассмотрим случай, когда число сторон $n$ строго больше 6, то есть $n > 6$.

Величина внутреннего угла $\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = 180^\circ \left(1 - \frac{2}{n}\right)$ возрастает с увеличением $n$. Следовательно, для любого $n > 6$ будет выполняться неравенство $\alpha_n > \alpha_6 = 120^\circ$.

Тогда для $n>6$ и $k \ge 3$ сумма плоских углов в вершине будет:

$S = k \cdot \alpha_n \ge 3 \cdot \alpha_n > 3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$

Этот результат ($S > 360^\circ$) также противоречит свойству выпуклого многогранного угла.

Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что в вершинах выпуклого многогранника могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон $n \ge 6$, неверно.

Ответ: Доказано, что в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти. Это связано с тем, что внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, а у правильных многоугольников с большим числом сторон он еще больше. Сумма трех таких углов (минимально необходимое количество для образования вершины) будет равна или превысит $360^\circ$, что нарушает фундаментальное свойство выпуклых многогранных углов.

Как вы думаете, почему правильная треугольная призма, боковыми гранями которой являются квадраты, не является правильным многогранником?

Чтобы многогранник был классифицирован как правильный многогранник (также известный как Платоново тело), он должен соответствовать двум обязательным критериям:

1. Все его грани должны быть конгруэнтными (то есть, одинаковыми по форме и размеру) правильными многоугольниками.

2. В каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней.

Теперь рассмотрим правильную треугольную призму, у которой боковые грани — квадраты. Этот геометрический объект состоит из граней двух различных типов: двух оснований в виде правильных (равносторонних) треугольников и трёх боковых граней в виде квадратов.

Проанализируем эту призму на соответствие критериям правильного многогранника. Первый критерий требует, чтобы все грани были одинаковыми. У нашей призмы есть и треугольные, и квадратные грани. Поскольку треугольник не конгруэнтен квадрату, это условие не выполняется. Нарушения одного этого критерия уже достаточно, чтобы утверждать, что данная призма не является правильным многогранником.

Интересно, что второй критерий для этой призмы выполняется. В каждой из её шести вершин сходятся ровно три грани: две квадратные и одна треугольная. Благодаря этому свойству (все вершины одинаковы, а грани — правильные многоугольники, но разных типов) такая призма относится к классу полуправильных многогранников, или Архимедовых тел.

Ответ: Правильная треугольная призма с квадратными боковыми гранями не является правильным многогранником, потому что не выполняется ключевое условие: все её грани не являются конгруэнтными (равными) друг другу. У неё есть грани двух разных видов (правильные треугольники и квадраты), в то время как у правильного многогранника все грани должны быть абсолютно одинаковыми.