Страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.2. Приведите пример многогранника, у которого имеются только трехгранные углы.

Решение

Трехгранный угол — это многогранный угол при вершине многогранника, в которой сходятся ровно три грани. Соответственно, в каждой вершине такого многогранника должно сходиться ровно три ребра.

Существует множество многогранников, которые удовлетворяют этому условию. Приведем несколько примеров:

1. Тетраэдр. Это простейший выпуклый многогранник, также известный как треугольная пирамида. Он имеет 4 вершины, и в каждой из них сходятся 3 треугольные грани. Все его четыре угла являются трехгранными.

2. Куб. Это один из пяти правильных многогранников (платоновых тел). У куба 8 вершин, и в каждой из них сходятся 3 квадратные грани. Таким образом, все восемь углов куба являются трехгранными.

3. Любая n-угольная призма. Например, треугольная, пятиугольная или шестиугольная призма. В каждой вершине любой призмы (прямой или наклонной) сходятся ровно три грани: две боковые грани (являющиеся прямоугольниками или параллелограммами) и одна грань основания (n-угольник). Следовательно, все $2n$ вершин n-угольной призмы являются вершинами трехгранных углов.

4. Додекаэдр. Это еще один пример платонова тела. Он состоит из 12 граней, являющихся правильными пятиугольниками. У додекаэдра 20 вершин, и в каждой из них сходятся ровно три грани, образуя трехгранные углы.

Ответ: Примерами многогранников, у которых имеются только трехгранные углы, являются тетраэдр, куб, любая n-угольная призма, додекаэдр.

3.3. Приведите пример многогранника, у которого есть:

а) четырех-гранный;

б) пятигранный;

в) шестигранный угол.

Решение

Многогранный угол — это пространственная фигура, образованная несколькими плоскими углами (гранями многогранного угла), имеющими общую вершину. Количество граней определяет название угла (трехгранный, четырехгранный и т.д.).

а) четырехгранный угол

Четырехгранный угол — это многогранный угол, образованный четырьмя гранями. Примером многогранника, имеющего такой угол, является четырехугольная пирамида. В ее вершине, противолежащей основанию, сходятся четыре треугольные боковые грани, образуя четырехгранный угол.

Ответ: Четырехугольная пирамида (вершина, в которой сходятся боковые грани).

б) пятигранный угол

Пятигранный угол — это многогранный угол, образованный пятью гранями. Примером многогранника с таким углом служит пятиугольная пирамида. В ее вершине сходятся пять треугольных боковых граней, которые образуют пятигранный угол.

Ответ: Пятиугольная пирамида (вершина, в которой сходятся боковые грани).

в) шестигранный угол

Шестигранный угол — это многогранный угол, образованный шестью гранями. Таким углом обладает, например, шестиугольная пирамида. В ее вершине сходятся шесть треугольных боковых граней, образуя шестигранный угол.

Ответ: Шестиугольная пирамида (вершина, в которой сходятся боковые грани).

3.4. Определите вид многогранных углов:

а) $n$-угольной призмы;

б) $n$-угольной пирамиды.

а) n-угольной призмы;
Решение:
$n$-угольная призма представляет собой многогранник, у которого две грани (основания) являются равными $n$-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях, а остальные $n$ граней (боковые грани) являются параллелограммами, соединяющими соответствующие стороны оснований.
Вершины призмы совпадают с вершинами ее оснований. В каждой вершине $n$-угольной призмы сходятся ровно три грани: одна грань основания и две прилегающие к этой вершине боковые грани.
Многогранный угол, который образован тремя гранями, называется трехгранным углом.
Следовательно, все многогранные углы при вершинах $n$-угольной призмы являются трехгранными.
Ответ: все многогранные углы $n$-угольной призмы являются трехгранными.

б) n-угольной пирамиды.
Решение:
$n$-угольная пирамида – это многогранник, состоящий из $n$-угольника (основания) и точки, не лежащей в плоскости основания (вершины пирамиды), соединенных с вершинами основания отрезками. Боковыми гранями являются $n$ треугольников, сходящихся в вершине пирамиды.
В $n$-угольной пирамиде можно выделить два вида вершин: вершину самой пирамиды и вершины, принадлежащие основанию.
1. В вершине пирамиды сходятся все $n$ боковых граней (треугольников). Многогранный угол, образованный $n$ гранями, называется $n$-гранным. Таким образом, многогранный угол при вершине пирамиды является $n$-гранным.
2. В каждой из $n$ вершин основания сходятся три грани: грань основания ($n$-угольник) и две смежные боковые грани (треугольники). Следовательно, многогранные углы при вершинах основания являются трехгранными.
Таким образом, $n$-угольная пирамида имеет один $n$-гранный угол (при вершине) и $n$ трехгранных углов (при основании).
Ответ: в $n$-угольной пирамиде один многогранный угол является $n$-гранным (при вершине пирамиды), а остальные $n$ углов являются трехгранными (при вершинах основания).

3.5. Два плоских угла трехгранного угла равны $70^\circ$ и $80^\circ$. В каких границах находится третий плоский угол?

Дано:

Трехгранный угол с плоскими углами $ \alpha, \beta, \gamma $.

Два из них известны: $ \alpha = 70^\circ $, $ \beta = 80^\circ $.

Найти:

Границы, в которых может находиться третий плоский угол $ \gamma $.

Решение:

Для нахождения границ третьего плоского угла трехгранного угла необходимо использовать два основных свойства (неравенства), связывающие его плоские углы.

1. Неравенство треугольника для трехгранного угла: любой плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Это можно записать в виде системы неравенств:

$ \alpha < \beta + \gamma $

$ \beta < \alpha + \gamma $

$ \gamma < \alpha + \beta $

2. Сумма плоских углов: сумма всех плоских углов трехгранного угла всегда меньше $ 360^\circ $.

$ \alpha + \beta + \gamma < 360^\circ $

Применим эти свойства к нашей задаче, подставив известные значения $ \alpha = 70^\circ $ и $ \beta = 80^\circ $.

Из первого свойства (неравенства треугольника):

Из неравенства $ \gamma < \alpha + \beta $ получаем верхнюю границу для $ \gamma $:

$ \gamma < 70^\circ + 80^\circ $

$ \gamma < 150^\circ $

Из неравенства $ \beta < \alpha + \gamma $ получаем нижнюю границу для $ \gamma $:

$ 80^\circ < 70^\circ + \gamma $

$ \gamma > 80^\circ - 70^\circ $

$ \gamma > 10^\circ $

Третье неравенство $ \alpha < \beta + \gamma $ ($ 70^\circ < 80^\circ + \gamma $) выполняется для любого положительного угла $ \gamma $, поэтому оно не дает нового ограничения.

Из второго свойства (сумма углов):

$ \alpha + \beta + \gamma < 360^\circ $

$ 70^\circ + 80^\circ + \gamma < 360^\circ $

$ 150^\circ + \gamma < 360^\circ $

$ \gamma < 360^\circ - 150^\circ $

$ \gamma < 210^\circ $

Теперь мы имеем следующие ограничения для $ \gamma $:

$ \gamma > 10^\circ $

$ \gamma < 150^\circ $

$ \gamma < 210^\circ $

Чтобы удовлетворить всем условиям, нужно выбрать самое сильное ограничение. Для верхней границы это $ \gamma < 150^\circ $, так как это условие более строгое, чем $ \gamma < 210^\circ $.

Объединяя нижнюю и верхнюю границы, получаем итоговый диапазон для третьего плоского угла:

$ 10^\circ < \gamma < 150^\circ $

Ответ: Третий плоский угол находится в границах от $ 10^\circ $ до $ 150^\circ $ (строго больше $ 10^\circ $ и строго меньше $ 150^\circ $).

3.6. Найдите сумму плоских углов трехгранного угла:

а) правильной треугольной призмы;

б) правильной четырехугольной призмы;

в) правильной шестиугольной призмы (рис. 3.7).

а)

б)

Рис. 3.7

в)

Дано:

а) Правильная треугольная призма

б) Правильная четырехугольная призма

в) Правильная шестиугольная призма

Найти:

Сумму плоских углов трехгранного угла при вершине для каждой призмы.

Решение:

Трехгранный угол при любой вершине основания правильной n-угольной призмы образован тремя гранями, сходящимися в этой вершине: гранью основания и двумя смежными боковыми гранями. Плоскими углами этого трехгранного угла являются:

1. Угол многоугольника, лежащего в основании. Для правильного n-угольника его величина вычисляется по формуле: $\alpha_n = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$.

2. Два угла, образованные боковыми гранями и основанием. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, а боковые грани являются прямоугольниками. Следовательно, каждое боковое ребро образует с ребрами основания, выходящими из той же вершины, прямые углы. Таким образом, два других плоских угла равны по $90^\circ$.

Искомая сумма $S$ плоских углов трехгранного угла при вершине основания равна сумме угла многоугольника в основании и двух прямых углов: $S = \alpha_n + 90^\circ + 90^\circ = \alpha_n + 180^\circ$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) правильной треугольной призмы;

В основании лежит правильный треугольник ($n=3$). Угол правильного треугольника равен:

$\alpha_3 = \frac{(3-2) \times 180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Сумма плоских углов трехгранного угла при вершине основания (например, при вершине $A$ на рис. 3.7 а) равна:

$S_3 = 60^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 240^\circ$.

Ответ: $240^\circ$.

б) правильной четырехугольной призмы;

В основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат ($n=4$). Угол квадрата равен:

$\alpha_4 = \frac{(4-2) \times 180^\circ}{4} = 90^\circ$.

Сумма плоских углов трехгранного угла при вершине основания (например, при вершине $A$ на рис. 3.7 б) равна:

$S_4 = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$.

Ответ: $270^\circ$.

в) правильной шестиугольной призмы.

В основании лежит правильный шестиугольник ($n=6$). Угол правильного шестиугольника равен:

$\alpha_6 = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Сумма плоских углов трехгранного угла при вершине основания (например, при вершине $A$ на рис. 3.7 в) равна:

$S_6 = 120^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 300^\circ$.

Ответ: $300^\circ$.

3.7. У правильной четырехугольной пирамиды (рис. 3.8) все ребра равны 1. Найдите сумму плоских углов:

а) трехгранного угла пирамиды;

б) четырехгранного угла пирамиды.

Рис. 3.8

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

а) Сумму плоских углов трехгранного угла пирамиды.

б) Сумму плоских углов четырехгранного угла пирамиды.

Решение:

а) трехгранного угла пирамиды;

Трехгранные углы в данной пирамиде находятся при вершинах основания A, B, C и D. В силу симметрии они все одинаковы. Рассмотрим трехгранный угол при вершине A. Он образован тремя плоскими углами: $\angle DAB$ (угол в основании), $\angle SAB$ и $\angle SAD$ (углы в боковых гранях).

1. Основание пирамиды ABCD является квадратом, так как пирамида правильная, и все ребра основания по условию равны 1. Следовательно, угол квадрата $\angle DAB = 90^\circ$.

2. Боковая грань SAB представляет собой треугольник, у которого все стороны равны 1 ($SA=SB=AB=1$). Следовательно, треугольник SAB является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle SAB = 60^\circ$.

3. Аналогично, боковая грань SAD также является равносторонним треугольником ($SA=SD=AD=1$), поэтому $\angle SAD = 60^\circ$.

Сумма плоских углов трехгранного угла при вершине A равна сумме этих трех углов:

$\angle DAB + \angle SAB + \angle SAD = 90^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 210^\circ$.

Ответ: $210^\circ$

б) четырехгранного угла пирамиды.

Четырехгранный угол в данной пирамиде один, он находится при вершине S. Он образован четырьмя боковыми гранями: SAB, SBC, SCD и SDA. Его плоскими углами являются углы этих граней при вершине S: $\angle ASB, \angle BSC, \angle CSD, \angle DSA$.

Как было установлено в предыдущем пункте, все боковые грани пирамиды являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Следовательно, все углы при вершине S равны $60^\circ$:

$\angle ASB = 60^\circ$

$\angle BSC = 60^\circ$

$\angle CSD = 60^\circ$

$\angle DSA = 60^\circ$

Сумма плоских углов четырехгранного угла при вершине S равна:

$\angle ASB + \angle BSC + \angle CSD + \angle DSA = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 4 \cdot 60^\circ = 240^\circ$.

Ответ: $240^\circ$

3.8. Докажите, что если в трехгранном угле два плоских угла прямые, то и противолежащие им двугранные углы прямые.

Решение

Пусть дан трехгранный угол с вершиной в точке S и ребрами SA, SB, SC. Плоскости, образующие этот угол, — это (SAB), (SBC) и (SAC), а плоские углы при вершине — это $∠ASB$, $∠BSC$ и $∠ASC$.

Согласно условию, два плоских угла являются прямыми. Без ограничения общности, предположим, что $∠ASB = 90°$ и $∠ASC = 90°$.

Из равенства $∠ASB = 90°$ следует, что ребро $SA$ перпендикулярно ребру $SB$ ($SA \perp SB$).
Из равенства $∠ASC = 90°$ следует, что ребро $SA$ перпендикулярно ребру $SC$ ($SA \perp SC$).

Поскольку ребро $SA$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($SB$ и $SC$) в плоскости $(SBC)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ребро $SA$ перпендикулярно всей плоскости $(SBC)$. То есть, $SA \perp (SBC)$.

Теперь необходимо доказать, что двугранные углы, противолежащие этим прямым плоским углам, также являются прямыми.

1. Двугранный угол, противолежащий плоскому углу $∠ASC$, — это двугранный угол при ребре $SB$. Он образован полуплоскостями $(SAB)$ и $(SBC)$. Мы знаем, что плоскость $(SAB)$ проходит через прямую $SA$, которая перпендикулярна плоскости $(SBC)$. Согласно теореме о перпендикулярности двух плоскостей (если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны), следует, что плоскость $(SAB)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$. Таким образом, величина двугранного угла при ребре $SB$ равна $90°$.

2. Двугранный угол, противолежащий плоскому углу $∠ASB$, — это двугранный угол при ребре $SC$. Он образован полуплоскостями $(SAC)$ и $(SBC)$. Аналогично предыдущему пункту, плоскость $(SAC)$ проходит через прямую $SA$, перпендикулярную плоскости $(SBC)$. Следовательно, плоскость $(SAC)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$. Это означает, что величина двугранного угла при ребре $SC$ также равна $90°$.

Таким образом, мы доказали, что если два плоских угла трехгранного угла прямые, то и противолежащие им двугранные углы являются прямыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.9. Докажите, что всякий плоский угол четырехгранного угла меньше суммы трех других его плоских углов.

3.10.

Дано:

Четырехгранный угол с вершиной $O$ и лучами (ребрами) $OA, OB, OC, OD$.

Плоские углы этого четырехгранного угла: $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD, \angle DOA$.

Доказать:

Любой плоский угол этого четырехгранного угла меньше суммы трех других его плоских углов.

Для определенности, докажем, что $\angle AOD < \angle AOB + \angle BOC + \angle COD$.

Решение:

Рассмотрим данный четырехгранный угол. Проведем плоскость через два несмежных ребра, например, через лучи $OA$ и $OC$. Эта плоскость делит наш четырехгранный угол на два трехгранных угла.

1. Первый трехгранный угол образован лучами $OA, OB, OC$. Его плоские углы: $\angle AOB, \angle BOC$ и $\angle AOC$.

2. Второй трехгранный угол образован лучами $OA, OC, OD$. Его плоские углы: $\angle AOC, \angle COD$ и $\angle DOA$.

Для решения задачи воспользуемся свойством трехгранного угла, которое утверждает, что каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Применим это свойство ко второму трехгранному углу ($OACD$). Для его плоского угла $\angle DOA$ справедливо неравенство:

$\angle DOA < \angle AOC + \angle COD$

Теперь применим это же свойство к первому трехгранному углу ($OABC$). Для его плоского угла $\angle AOC$ справедливо неравенство:

$\angle AOC < \angle AOB + \angle BOC$

Теперь объединим эти два неравенства. Подставим выражение для $\angle AOC$ из второго неравенства в первое. Поскольку мы заменяем $\angle AOC$ на заведомо большую величину $(\angle AOB + \angle BOC)$, знак неравенства сохранится:

$\angle DOA < (\angle AOB + \angle BOC) + \angle COD$

$\angle DOA < \angle AOB + \angle BOC + \angle COD$

Мы доказали, что плоский угол $\angle DOA$ меньше суммы трех других плоских углов. Поскольку выбор угла $\angle DOA$ для доказательства был произвольным, аналогичное рассуждение можно применить к любому другому плоскому углу четырехгранного угла.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Всякий плоский угол четырехгранного угла меньше суммы трех других его плоских углов, что следует из разбиения четырехгранного угла на два трехгранных и применения для них теоремы о сумме плоских углов.

3.10. Существует ли выпуклый четырехгранный угол, имеющий плоские углы: а) $80^{\circ}$, $130^{\circ}$, $70^{\circ}$, $100^{\circ}$; б) $20^{\circ}$, $40^{\circ}$, $80^{\circ}$, $160^{\circ}$?

Для того чтобы выпуклый многогранный угол существовал, должны одновременно выполняться два условия:

1. Сумма всех его плоских углов должна быть меньше $360^\circ$.

2. Каждый его плоский угол должен быть меньше суммы всех остальных плоских углов. Это условие достаточно проверить для наибольшего из углов.

Проверим эти условия для каждого случая.

а)

Дано:

Плоские углы четырехгранного угла: $80^\circ, 130^\circ, 70^\circ, 100^\circ$.

Найти:

Существует ли выпуклый четырехгранный угол с заданными плоскими углами.

Решение:

Проверим первое условие — найдем сумму всех плоских углов:

$S = 80^\circ + 130^\circ + 70^\circ + 100^\circ = 380^\circ$.

Полученная сумма $380^\circ$ больше, чем $360^\circ$.

$380^\circ > 360^\circ$

Поскольку первое необходимое условие не выполняется, такой выпуклый четырехгранный угол не существует.

Ответ: не существует.

б)

Дано:

Плоские углы четырехгранного угла: $20^\circ, 40^\circ, 80^\circ, 160^\circ$.

Найти:

Существует ли выпуклый четырехгранный угол с заданными плоскими углами.

Решение:

Проверим первое условие — найдем сумму всех плоских углов:

$S = 20^\circ + 40^\circ + 80^\circ + 160^\circ = 300^\circ$.

Полученная сумма $300^\circ$ меньше, чем $360^\circ$.

$300^\circ < 360^\circ$

Первое условие выполняется. Теперь проверим второе условие.

Наибольший плоский угол равен $160^\circ$.

Найдем сумму остальных плоских углов:

$20^\circ + 40^\circ + 80^\circ = 140^\circ$.

Сравним наибольший угол с суммой остальных:

$160^\circ > 140^\circ$

Второе условие не выполняется, так как наибольший плоский угол больше суммы остальных. Следовательно, такой выпуклый четырехгранный угол не существует.

Ответ: не существует.

3.11. Докажите, что сумма двугранных углов выпуклого $n$-гранного угла больше $180^\circ(n-2)$.

Решение

Рассмотрим выпуклый $n$-гранный угол с вершиной в точке $O$. Обозначим его двугранные углы при рёбрах как $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$. Требуется доказать, что $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i > 180^\circ(n - 2)$.

Для доказательства воспользуемся методом полярного (или дополнительного) многогранного угла.

1. Выберем любую точку $A$ внутри данного $n$-гранного угла. Из этой точки опустим перпендикуляры на все $n$ граней исходного угла. Пусть $AH_1, AH_2, \ldots, AH_n$ — эти перпендикуляры, где точка $H_i$ лежит на $i$-ой грани.

2. Лучи $AH_1, AH_2, \ldots, AH_n$ образуют новый выпуклый $n$-гранный угол с вершиной в точке $A$. Этот угол называют дополнительным или полярным к исходному углу.

3. Найдём связь между двугранными углами исходного угла и плоскими углами дополнительного. Пусть $\alpha_i$ — двугранный угол при ребре, образованном пересечением граней $P_i$ и $P_{i+1}$. Пусть $\beta_i = \angle H_iAH_{i+1}$ — плоский угол дополнительного угла, образованный перпендикулярами к этим граням.

По определению, угол между двумя плоскостями и угол между перпендикулярами к ним, проведёнными из одной точки, в сумме дают $180^\circ$. Таким образом, для каждого $i$ от $1$ до $n$ справедливо соотношение:

$\alpha_i + \beta_i = 180^\circ$

4. Просуммируем все $n$ таких равенств:

$\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ$

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$

5. Из этого уравнения выразим искомую сумму двугранных углов:

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = n \cdot 180^\circ - \sum_{i=1}^{n} \beta_i$

6. Теперь рассмотрим сумму плоских углов $\sum_{i=1}^{n} \beta_i$. Согласно фундаментальной теореме о многогранных углах, сумма всех плоских углов любого выпуклого многогранного угла строго меньше $360^\circ$. Для нашего дополнительного угла с вершиной в точке $A$ это означает:

$\sum_{i=1}^{n} \beta_i < 360^\circ$

7. Подставим это неравенство в выражение для суммы двугранных углов. Так как мы вычитаем величину, которая строго меньше $360^\circ$, результат будет строго больше, чем если бы мы вычитали ровно $360^\circ$:

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i > n \cdot 180^\circ - 360^\circ$

8. Вынесем общий множитель $180^\circ$ за скобки в правой части неравенства:

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i > (n - 2) \cdot 180^\circ$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма двугранных углов выпуклого $n$-гранного угла больше $180^\circ(n - 2)$.