Номер 3.5, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.5. Два плоских угла трехгранного угла равны $70^\circ$ и $80^\circ$. В каких границах находится третий плоский угол?

Дано:

Трехгранный угол с плоскими углами $ \alpha, \beta, \gamma $.

Два из них известны: $ \alpha = 70^\circ $, $ \beta = 80^\circ $.

Найти:

Границы, в которых может находиться третий плоский угол $ \gamma $.

Решение:

Для нахождения границ третьего плоского угла трехгранного угла необходимо использовать два основных свойства (неравенства), связывающие его плоские углы.

1. Неравенство треугольника для трехгранного угла: любой плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Это можно записать в виде системы неравенств:

$ \alpha < \beta + \gamma $

$ \beta < \alpha + \gamma $

$ \gamma < \alpha + \beta $

2. Сумма плоских углов: сумма всех плоских углов трехгранного угла всегда меньше $ 360^\circ $.

$ \alpha + \beta + \gamma < 360^\circ $

Применим эти свойства к нашей задаче, подставив известные значения $ \alpha = 70^\circ $ и $ \beta = 80^\circ $.

Из первого свойства (неравенства треугольника):

Из неравенства $ \gamma < \alpha + \beta $ получаем верхнюю границу для $ \gamma $:

$ \gamma < 70^\circ + 80^\circ $

$ \gamma < 150^\circ $

Из неравенства $ \beta < \alpha + \gamma $ получаем нижнюю границу для $ \gamma $:

$ 80^\circ < 70^\circ + \gamma $

$ \gamma > 80^\circ - 70^\circ $

$ \gamma > 10^\circ $

Третье неравенство $ \alpha < \beta + \gamma $ ($ 70^\circ < 80^\circ + \gamma $) выполняется для любого положительного угла $ \gamma $, поэтому оно не дает нового ограничения.

Из второго свойства (сумма углов):

$ \alpha + \beta + \gamma < 360^\circ $

$ 70^\circ + 80^\circ + \gamma < 360^\circ $

$ 150^\circ + \gamma < 360^\circ $

$ \gamma < 360^\circ - 150^\circ $

$ \gamma < 210^\circ $

Теперь мы имеем следующие ограничения для $ \gamma $:

$ \gamma > 10^\circ $

$ \gamma < 150^\circ $

$ \gamma < 210^\circ $

Чтобы удовлетворить всем условиям, нужно выбрать самое сильное ограничение. Для верхней границы это $ \gamma < 150^\circ $, так как это условие более строгое, чем $ \gamma < 210^\circ $.

Объединяя нижнюю и верхнюю границы, получаем итоговый диапазон для третьего плоского угла:

$ 10^\circ < \gamma < 150^\circ $

Ответ: Третий плоский угол находится в границах от $ 10^\circ $ до $ 150^\circ $ (строго больше $ 10^\circ $ и строго меньше $ 150^\circ $).