Номер 3.10, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.10. Существует ли выпуклый четырехгранный угол, имеющий плоские углы: а) $80^{\circ}$, $130^{\circ}$, $70^{\circ}$, $100^{\circ}$; б) $20^{\circ}$, $40^{\circ}$, $80^{\circ}$, $160^{\circ}$?

Для того чтобы выпуклый многогранный угол существовал, должны одновременно выполняться два условия:

1. Сумма всех его плоских углов должна быть меньше $360^\circ$.

2. Каждый его плоский угол должен быть меньше суммы всех остальных плоских углов. Это условие достаточно проверить для наибольшего из углов.

Проверим эти условия для каждого случая.

а)

Дано:

Плоские углы четырехгранного угла: $80^\circ, 130^\circ, 70^\circ, 100^\circ$.

Найти:

Существует ли выпуклый четырехгранный угол с заданными плоскими углами.

Решение:

Проверим первое условие — найдем сумму всех плоских углов:

$S = 80^\circ + 130^\circ + 70^\circ + 100^\circ = 380^\circ$.

Полученная сумма $380^\circ$ больше, чем $360^\circ$.

$380^\circ > 360^\circ$

Поскольку первое необходимое условие не выполняется, такой выпуклый четырехгранный угол не существует.

Ответ: не существует.

б)

Дано:

Плоские углы четырехгранного угла: $20^\circ, 40^\circ, 80^\circ, 160^\circ$.

Найти:

Существует ли выпуклый четырехгранный угол с заданными плоскими углами.

Решение:

Проверим первое условие — найдем сумму всех плоских углов:

$S = 20^\circ + 40^\circ + 80^\circ + 160^\circ = 300^\circ$.

Полученная сумма $300^\circ$ меньше, чем $360^\circ$.

$300^\circ < 360^\circ$

Первое условие выполняется. Теперь проверим второе условие.

Наибольший плоский угол равен $160^\circ$.

Найдем сумму остальных плоских углов:

$20^\circ + 40^\circ + 80^\circ = 140^\circ$.

Сравним наибольший угол с суммой остальных:

$160^\circ > 140^\circ$

Второе условие не выполняется, так как наибольший плоский угол больше суммы остальных. Следовательно, такой выпуклый четырехгранный угол не существует.

Ответ: не существует.