Номер 3.6, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.6. Найдите сумму плоских углов трехгранного угла:

а) правильной треугольной призмы;

б) правильной четырехугольной призмы;

в) правильной шестиугольной призмы (рис. 3.7).

а)

б)

Рис. 3.7

в)

Дано:

а) Правильная треугольная призма

б) Правильная четырехугольная призма

в) Правильная шестиугольная призма

Найти:

Сумму плоских углов трехгранного угла при вершине для каждой призмы.

Решение:

Трехгранный угол при любой вершине основания правильной n-угольной призмы образован тремя гранями, сходящимися в этой вершине: гранью основания и двумя смежными боковыми гранями. Плоскими углами этого трехгранного угла являются:

1. Угол многоугольника, лежащего в основании. Для правильного n-угольника его величина вычисляется по формуле: $\alpha_n = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$.

2. Два угла, образованные боковыми гранями и основанием. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, а боковые грани являются прямоугольниками. Следовательно, каждое боковое ребро образует с ребрами основания, выходящими из той же вершины, прямые углы. Таким образом, два других плоских угла равны по $90^\circ$.

Искомая сумма $S$ плоских углов трехгранного угла при вершине основания равна сумме угла многоугольника в основании и двух прямых углов: $S = \alpha_n + 90^\circ + 90^\circ = \alpha_n + 180^\circ$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) правильной треугольной призмы;

В основании лежит правильный треугольник ($n=3$). Угол правильного треугольника равен:

$\alpha_3 = \frac{(3-2) \times 180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Сумма плоских углов трехгранного угла при вершине основания (например, при вершине $A$ на рис. 3.7 а) равна:

$S_3 = 60^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 240^\circ$.

Ответ: $240^\circ$.

б) правильной четырехугольной призмы;

В основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат ($n=4$). Угол квадрата равен:

$\alpha_4 = \frac{(4-2) \times 180^\circ}{4} = 90^\circ$.

Сумма плоских углов трехгранного угла при вершине основания (например, при вершине $A$ на рис. 3.7 б) равна:

$S_4 = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$.

Ответ: $270^\circ$.

в) правильной шестиугольной призмы.

В основании лежит правильный шестиугольник ($n=6$). Угол правильного шестиугольника равен:

$\alpha_6 = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Сумма плоских углов трехгранного угла при вершине основания (например, при вершине $A$ на рис. 3.7 в) равна:

$S_6 = 120^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 300^\circ$.

Ответ: $300^\circ$.