Номер 3.11, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.11. Докажите, что сумма двугранных углов выпуклого $n$-гранного угла больше $180^\circ(n-2)$.

Решение

Рассмотрим выпуклый $n$-гранный угол с вершиной в точке $O$. Обозначим его двугранные углы при рёбрах как $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$. Требуется доказать, что $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i > 180^\circ(n - 2)$.

Для доказательства воспользуемся методом полярного (или дополнительного) многогранного угла.

1. Выберем любую точку $A$ внутри данного $n$-гранного угла. Из этой точки опустим перпендикуляры на все $n$ граней исходного угла. Пусть $AH_1, AH_2, \ldots, AH_n$ — эти перпендикуляры, где точка $H_i$ лежит на $i$-ой грани.

2. Лучи $AH_1, AH_2, \ldots, AH_n$ образуют новый выпуклый $n$-гранный угол с вершиной в точке $A$. Этот угол называют дополнительным или полярным к исходному углу.

3. Найдём связь между двугранными углами исходного угла и плоскими углами дополнительного. Пусть $\alpha_i$ — двугранный угол при ребре, образованном пересечением граней $P_i$ и $P_{i+1}$. Пусть $\beta_i = \angle H_iAH_{i+1}$ — плоский угол дополнительного угла, образованный перпендикулярами к этим граням.

По определению, угол между двумя плоскостями и угол между перпендикулярами к ним, проведёнными из одной точки, в сумме дают $180^\circ$. Таким образом, для каждого $i$ от $1$ до $n$ справедливо соотношение:

$\alpha_i + \beta_i = 180^\circ$

4. Просуммируем все $n$ таких равенств:

$\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ$

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$

5. Из этого уравнения выразим искомую сумму двугранных углов:

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = n \cdot 180^\circ - \sum_{i=1}^{n} \beta_i$

6. Теперь рассмотрим сумму плоских углов $\sum_{i=1}^{n} \beta_i$. Согласно фундаментальной теореме о многогранных углах, сумма всех плоских углов любого выпуклого многогранного угла строго меньше $360^\circ$. Для нашего дополнительного угла с вершиной в точке $A$ это означает:

$\sum_{i=1}^{n} \beta_i < 360^\circ$

7. Подставим это неравенство в выражение для суммы двугранных углов. Так как мы вычитаем величину, которая строго меньше $360^\circ$, результат будет строго больше, чем если бы мы вычитали ровно $360^\circ$:

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i > n \cdot 180^\circ - 360^\circ$

8. Вынесем общий множитель $180^\circ$ за скобки в правой части неравенства:

$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i > (n - 2) \cdot 180^\circ$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма двугранных углов выпуклого $n$-гранного угла больше $180^\circ(n - 2)$.