Вопросы, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

§ 4*. Теорема Эйлера. Глава I. Многогранники - страница 32.

Условие.

Вопросы

1. Чему равно число вершин, ребер и граней: а) $n$-угольной призмы; б) $n$-угольной пирамиды?

2. Сформулируйте теорему Эйлера.

3. Когда она была доказана?

4. Что изучает топология?

Решение 2 (rus).

Чему равно число вершин, ребер и граней: а) n-угольной призмы; б) n-угольной пирамиды?

а) n-угольная призма

Дано:

n-угольная призма, где $n$ — число углов (и сторон) многоугольника в основании ($n \ge 3$).

Найти:

Число вершин (В), число рёбер (Р), число граней (Г).

Решение:

У n-угольной призмы есть два основания, каждое из которых является n-угольником, и $n$ боковых граней, которые являются параллелограммами (в случае прямой призмы — прямоугольниками).

Число вершин (В): Каждое из двух оснований имеет $n$ вершин. Следовательно, общее число вершин равно $В = n + n = 2n$.

Число рёбер (Р): Каждое основание имеет $n$ рёбер. Кроме того, есть $n$ боковых рёбер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Таким образом, общее число рёбер равно $Р = n + n + n = 3n$.

Число граней (Г): Призма имеет два основания (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней. Следовательно, общее число граней равно $Г = n + 2$.

Ответ: Для n-угольной призмы число вершин $В = 2n$, число рёбер $Р = 3n$, число граней $Г = n + 2$.

б) n-угольная пирамида

Дано:

n-угольная пирамида, где $n$ — число углов (и сторон) многоугольника в основании ($n \ge 3$).

Найти:

Число вершин (В), число рёбер (Р), число граней (Г).

Решение:

У n-угольной пирамиды есть одно основание (n-угольник), одна вершина (апекс), не лежащая в плоскости основания, и $n$ боковых граней (треугольников).

Число вершин (В): Основание имеет $n$ вершин, и есть ещё одна вершина — апекс пирамиды. Таким образом, общее число вершин равно $В = n + 1$.

Число рёбер (Р): Основание имеет $n$ рёбер. Кроме того, есть $n$ боковых рёбер, соединяющих вершины основания с апексом. Следовательно, общее число рёбер равно $Р = n + n = 2n$.

Число граней (Г): Пирамида имеет одно основание и $n$ боковых треугольных граней. Таким образом, общее число граней равно $Г = n + 1$.

Ответ: Для n-угольной пирамиды число вершин $В = n + 1$, число рёбер $Р = 2n$, число граней $Г = n + 1$.

2. Сформулируйте теорему Эйлера.

Теорема Эйлера для многогранников (также известная как формула Эйлера для многогранников) утверждает, что для любого выпуклого многогранника сумма числа его вершин (В) и числа граней (Г) равна числу его рёбер (Р) плюс два. Эта зависимость выражается формулой:

$В - Р + Г = 2$

Эта формула верна для всех многогранников, гомеоморфных (топологически эквивалентных) сфере.

Ответ: Для любого выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум: $В - Р + Г = 2$.

3. Когда она была доказана?

Теорема была сформулирована и опубликована Леонардом Эйлером в 1752 году в его работе «Elementa doctrinae solidorum», хотя он упоминал о ней еще в письме к Христиану Гольдбаху в 1750 году. Однако первое строгое доказательство этой теоремы было представлено французским математиком Огюстеном Луи Коши в 1811 году. Доказательство самого Эйлера содержало некоторые неточности и было неполным по современным стандартам.

Ответ: Теорема была сформулирована Леонардом Эйлером в 1750-1752 годах, а первое строгое доказательство было дано Огюстеном Луи Коши в 1811 году.

4. Что изучает топология?

Топология — это раздел математики, изучающий такие свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях (растяжениях, сжатиях, изгибах), но без разрывов и склеиваний. Такие свойства называют топологическими инвариантами. В отличие от геометрии, в топологии не важны метрические свойства объектов, такие как длина, угол или кривизна. Классическим примером является утверждение, что с точки зрения топологии кофейная кружка и бублик (тор) — это один и тот же объект, так как один можно плавно преобразовать в другой. Топология занимается изучением понятий связности, компактности, непрерывности и размерности.

Ответ: Топология изучает свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных деформациях (растяжениях, сжатиях) без разрывов и склеиваний.