Номер 3.8, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.8. Докажите, что если в трехгранном угле два плоских угла прямые, то и противолежащие им двугранные углы прямые.

Решение

Пусть дан трехгранный угол с вершиной в точке S и ребрами SA, SB, SC. Плоскости, образующие этот угол, — это (SAB), (SBC) и (SAC), а плоские углы при вершине — это $∠ASB$, $∠BSC$ и $∠ASC$.

Согласно условию, два плоских угла являются прямыми. Без ограничения общности, предположим, что $∠ASB = 90°$ и $∠ASC = 90°$.

Из равенства $∠ASB = 90°$ следует, что ребро $SA$ перпендикулярно ребру $SB$ ($SA \perp SB$).
Из равенства $∠ASC = 90°$ следует, что ребро $SA$ перпендикулярно ребру $SC$ ($SA \perp SC$).

Поскольку ребро $SA$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($SB$ и $SC$) в плоскости $(SBC)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ребро $SA$ перпендикулярно всей плоскости $(SBC)$. То есть, $SA \perp (SBC)$.

Теперь необходимо доказать, что двугранные углы, противолежащие этим прямым плоским углам, также являются прямыми.

1. Двугранный угол, противолежащий плоскому углу $∠ASC$, — это двугранный угол при ребре $SB$. Он образован полуплоскостями $(SAB)$ и $(SBC)$. Мы знаем, что плоскость $(SAB)$ проходит через прямую $SA$, которая перпендикулярна плоскости $(SBC)$. Согласно теореме о перпендикулярности двух плоскостей (если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны), следует, что плоскость $(SAB)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$. Таким образом, величина двугранного угла при ребре $SB$ равна $90°$.

2. Двугранный угол, противолежащий плоскому углу $∠ASB$, — это двугранный угол при ребре $SC$. Он образован полуплоскостями $(SAC)$ и $(SBC)$. Аналогично предыдущему пункту, плоскость $(SAC)$ проходит через прямую $SA$, перпендикулярную плоскости $(SBC)$. Следовательно, плоскость $(SAC)$ перпендикулярна плоскости $(SBC)$. Это означает, что величина двугранного угла при ребре $SC$ также равна $90°$.

Таким образом, мы доказали, что если два плоских угла трехгранного угла прямые, то и противолежащие им двугранные углы являются прямыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.