Номер 3.1, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.1. Существует ли трехгранный угол с плоскими углами:

а) $20^\circ$, $60^\circ$, $30^\circ$;

б) $40^\circ$, $40^\circ$, $80^\circ$;

в) $60^\circ$, $45^\circ$, $30^\circ$?

Для определения существования трехгранного угла с заданными плоскими углами необходимо проверить выполнение двух основных свойств (неравенств) для плоских углов трехгранного угла.

1. Неравенство трехгранного угла: Сумма любых двух плоских углов должна быть строго больше третьего. Практически это сводится к проверке того, что самый большой из углов меньше суммы двух других.

2. Сумма плоских углов: Сумма всех трех плоских углов должна быть строго меньше $360^\circ$.

Трехгранный угол существует только в том случае, если выполняются оба эти условия.

а)

Дано:

Набор плоских углов: $20^\circ, 60^\circ, 30^\circ$.

Найти:

Определить, может ли существовать трехгранный угол с такими плоскими углами.

Решение:

Проверим выполнение двух условий.

1. Проверим неравенство трехгранного угла. Наибольший угол в наборе равен $60^\circ$. Сумма двух других углов составляет $20^\circ + 30^\circ = 50^\circ$.
Сравним наибольший угол с суммой двух других: $60^\circ < 20^\circ + 30^\circ$.
Получаем: $60^\circ < 50^\circ$.
Это неравенство ложно. Первое условие не выполняется.

2. Несмотря на то что первое условие не выполнено (чего уже достаточно для отрицательного ответа), проверим и второе условие. Сумма всех углов: $20^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 110^\circ$.
Сравним с $360^\circ$: $110^\circ < 360^\circ$.
Это неравенство истинно. Второе условие выполняется.

Поскольку для существования трехгранного угла необходимо выполнение обоих условий, а первое не выполняется, такой угол не существует.

Ответ: не существует.

б)

Дано:

Набор плоских углов: $40^\circ, 40^\circ, 80^\circ$.

Найти:

Определить, может ли существовать трехгранный угол с такими плоскими углами.

Решение:

Проверим выполнение двух условий.

1. Проверим неравенство трехгранного угла. Наибольший угол равен $80^\circ$. Сумма двух других углов: $40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$.
Сравним наибольший угол с суммой двух других: $80^\circ < 40^\circ + 40^\circ$.
Получаем: $80^\circ < 80^\circ$.
Это неравенство ложно, так как требуется строгое неравенство. Равенство означает, что угол является вырожденным (плоским). Первое условие не выполняется.

2. Проверим второе условие. Сумма всех углов: $40^\circ + 40^\circ + 80^\circ = 160^\circ$.
Сравним с $360^\circ$: $160^\circ < 360^\circ$.
Это неравенство истинно. Второе условие выполняется.

Так как первое условие не выполняется, трехгранный угол с такими плоскими углами не существует.

Ответ: не существует.

в)

Дано:

Набор плоских углов: $60^\circ, 45^\circ, 30^\circ$.

Найти:

Определить, может ли существовать трехгранный угол с такими плоскими углами.

Решение:

Проверим выполнение двух условий.

1. Проверим неравенство трехгранного угла. Наибольший угол равен $60^\circ$. Сумма двух других углов: $45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$.
Сравним наибольший угол с суммой двух других: $60^\circ < 45^\circ + 30^\circ$.
Получаем: $60^\circ < 75^\circ$.
Это неравенство истинно. Первое условие выполняется.

2. Проверим второе условие. Сумма всех углов: $60^\circ + 45^\circ + 30^\circ = 135^\circ$.
Сравним с $360^\circ$: $135^\circ < 360^\circ$.
Это неравенство истинно. Второе условие выполняется.

Поскольку оба условия выполняются, трехгранный угол с такими плоскими углами существует.

Ответ: существует.