Номер 2.21, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.21. На рисунке 2.16 изображен бункер, поверхность основной части которого представляет боковую поверхность правильной четырех- угольной усеченной пирамиды. По размерам, указанным на рисунке (в см), вы- числите, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера (не считая рукавов А и В).

Рис. 2.16

Дано:

Основная часть бункера имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

Сторона верхнего основания, $a = 275$ см.

Сторона нижнего основания, $b = 125$ см.

Высота усеченной пирамиды, $H = 200$ см.

Переведем размеры в дециметры, так как ответ требуется в квадратных дециметрах (1 дм = 10 см):

$a = 275 \text{ см} = 27.5 \text{ дм}$

$b = 125 \text{ см} = 12.5 \text{ дм}$

$H = 200 \text{ см} = 20 \text{ дм}$

Найти:

Площадь листового железа, необходимого для изготовления бункера, $S_{бок}$ в дм².

Решение:

Количество листового железа, необходимое для изготовления основной части бункера, равно площади боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных трапеций.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_s$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры верхнего и нижнего оснований, а $h_s$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем периметры оснований:

Периметр верхнего основания: $P_1 = 4a = 4 \cdot 27.5 = 110$ дм.

Периметр нижнего основания: $P_2 = 4b = 4 \cdot 12.5 = 50$ дм.

2. Найдем апофему $h_s$. Апофему можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота усеченной пирамиды $H$ и полуразность сторон оснований $\frac{a-b}{2}$.

Найдем длину второго катета:

$\frac{a-b}{2} = \frac{27.5 - 12.5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ дм.

Теперь по теореме Пифагора найдем апофему:

$h_s = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 + 7.5^2} = \sqrt{400 + 56.25} = \sqrt{456.25}$ дм.

Упростим значение корня:

$\sqrt{456.25} = \sqrt{\frac{45625}{100}} = \frac{\sqrt{625 \cdot 73}}{10} = \frac{25\sqrt{73}}{10} = 2.5\sqrt{73}$ дм.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_s = \frac{110 + 50}{2} \cdot 2.5\sqrt{73} = \frac{160}{2} \cdot 2.5\sqrt{73} = 80 \cdot 2.5\sqrt{73} = 200\sqrt{73}$ дм².

Проверим расчет, вычислив площадь одной боковой грани (трапеции) и умножив на 4.

Площадь одной трапеции: $S_{трап} = \frac{a+b}{2} \cdot h_s = \frac{27.5+12.5}{2} \cdot 2.5\sqrt{73} = \frac{40}{2} \cdot 2.5\sqrt{73} = 20 \cdot 2.5\sqrt{73} = 50\sqrt{73}$ дм².

Общая площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot 50\sqrt{73} = 200\sqrt{73}$ дм².

Результаты совпадают.

Ответ: $200\sqrt{73}$ дм².