Номер 2.18, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.18. Пирамида Хеопса в Египте — правильная четырехугольная пирамида, высота которой около 140 м, а площадь основания 5,3 га (рис. 2.13). Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Рис. 2.13

Дано:

Пирамида Хеопса — правильная четырехугольная пирамида.

Высота, $H \approx 140$ м.

Площадь основания, $S_{осн} = 5,3$ га.

$1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$
$S_{осн} = 5,3 \times 10000 \text{ м}^2 = 53000 \text{ м}^2$

Найти:

Площадь боковой поверхности, $S_{бок}$.

Решение:

Пирамида Хеопса является правильной четырехугольной пирамидой, следовательно, в ее основании лежит квадрат, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

1. Найдем сторону основания пирамиды ($a$). Так как основание — квадрат, его площадь равна квадрату стороны: $S_{осн} = a^2$ $a = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{53000} \text{ м} \approx 230,2 \text{ м}$.

2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$, где $P$ — периметр основания, а $h_s$ — апофема (высота боковой грани).

3. Периметр основания (квадрата) равен: $P = 4a = 4\sqrt{53000} \text{ м}$.

4. Найдем апофему $h_s$. Апофему можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и самой апофемой $h_s$, которая является гипотенузой. $h_s^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$ $h_s = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{140^2 + (\frac{\sqrt{53000}}{2})^2} = \sqrt{19600 + \frac{53000}{4}} = \sqrt{19600 + 13250} = \sqrt{32850} \text{ м}$. $h_s \approx 181,2 \text{ м}$.

5. Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{53000}) \cdot \sqrt{32850} = 2 \cdot \sqrt{53000 \cdot 32850} = 2 \cdot \sqrt{1741050000} \text{ м}^2$. $S_{бок} \approx 2 \cdot 41725,9 = 83451,8 \text{ м}^2$.

Учитывая, что исходные данные являются приблизительными, округлим результат до трех значащих цифр. $S_{бок} \approx 83500 \text{ м}^2$.

Ответ: $S_{бок} \approx 83500 \text{ м}^2$ (или 8,35 га).