Номер 2.15, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.15. Найдите высоту правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 4 и 2, а боковые ребра равны 3.

Дано:

Правильная четырехугольная усеченная пирамида

Сторона большего основания $a = 4$

Сторона меньшего основания $b = 2$

Боковое ребро $l = 3$

Найти:

Высоту пирамиды $h$

Решение:

Высота правильной усеченной пирамиды $h$ является катетом в прямоугольном треугольнике. Гипотенузой этого треугольника является боковое ребро $l$, а вторым катетом — проекция бокового ребра на плоскость большего основания.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды ($l$). Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $h$.

1. Найдем длины диагоналей оснований. Так как основания — квадраты, их диагонали вычисляются по формуле $d = \text{сторона} \cdot \sqrt{2}$.

Диагональ большего основания:

$d_1 = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Диагональ меньшего основания:

$d_2 = b\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

2. В равнобедренной трапеции, образованной диагональным сечением, опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Эта высота разделит большее основание на два отрезка. Длина отрезка, который является катетом в нашем прямоугольном треугольнике (вместе с высотой $h$ и боковым ребром $l$), равна полуразности диагоналей.

Найдем длину этого катета (проекции бокового ребра):

$x = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

3. Теперь по теореме Пифагора найдем высоту $h$ из прямоугольного треугольника с гипотенузой $l$ и катетами $h$ и $x$:

$l^2 = h^2 + x^2$

Отсюда выразим $h^2$:

$h^2 = l^2 - x^2$

Подставим известные значения:

$h^2 = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$

$h = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$.