Номер 2.10, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в два раза?

Это задача на подобие геометрических тел. Если все линейные размеры тела (в данном случае - все ребра пирамиды) увеличиваются в одно и то же число раз, то новое тело будет подобно исходному.

Дано:
Коэффициент увеличения ребер (коэффициент подобия) $k = 2$.
$S_1$ - площадь поверхности исходной пирамиды.
$S_2$ - площадь поверхности новой пирамиды.

Найти:
Во сколько раз увеличится площадь поверхности, то есть найти отношение $\frac{S_2}{S_1}$.

Решение:
Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$), которая, в свою очередь, является суммой площадей треугольных граней.
Общая формула для площади поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок}$.
Согласно свойству подобных фигур, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Это свойство применимо ко всем граням пирамиды, так как все они являются плоскими фигурами (многоугольниками).
Пусть $S_{1,i}$ - площадь $i$-й грани исходной пирамиды, а $S_{2,i}$ - площадь соответствующей грани новой пирамиды. Тогда:
$\frac{S_{2,i}}{S_{1,i}} = k^2$
Поскольку это верно для каждой грани, то и для суммы площадей всех граней (то есть для всей площади поверхности) это соотношение также будет верным.
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{S_{2, осн} + S_{2, бок}}{S_{1, осн} + S_{1, бок}} = \frac{k^2 \cdot S_{1, осн} + k^2 \cdot S_{1, бок}}{S_{1, осн} + S_{1, бок}} = \frac{k^2 (S_{1, осн} + S_{1, бок})}{S_{1, осн} + S_{1, бок}} = k^2$
Подставим в формулу значение коэффициента подобия $k = 2$:
$\frac{S_2}{S_1} = 2^2 = 4$
Следовательно, площадь поверхности пирамиды увеличится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.