Страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.8. Найдите площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. рис. 2.10).

Рис. 2.10

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания $a = 1$
Боковое ребро $l = 2$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Вычисление площади основания.

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a = 1$. Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников, из которых он состоит.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна: $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставляем значение $a=1$: $S_{\triangle} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Площадь основания пирамиды: $S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

2. Вычисление площади боковой поверхности.

Боковая поверхность пирамиды состоит из шести одинаковых равнобедренных треугольников. Основание каждого треугольника равно стороне основания пирамиды $a=1$, а боковые стороны равны боковым ребрам $l=2$.

Для нахождения площади одного такого треугольника (боковой грани) $S_{грань}$, найдем его высоту, которая является апофемой пирамиды $h_a$. Рассмотрим боковую грань - равнобедренный треугольник с основанием $a=1$ и боковыми сторонами $l=2$. Высота $h_a$, опущенная на основание, делит его на два равных отрезка по $\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой $h_a$, половиной основания $\frac{a}{2}$ и боковым ребром $l$: $h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2$

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16-1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Площадь одной боковой грани: $S_{грань} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Площадь всей боковой поверхности: $S_{бок} = 6 \cdot S_{грань} = 6 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$

3. Вычисление полной площади поверхности.

Теперь сложим площади основания и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{15}}{2} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{15})}{2}$

Также ответ можно представить в виде: $S_{полн} = \frac{3\sqrt{3}(1 + \sqrt{5})}{2}$

Ответ: $S_{полн} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{15})}{2}$

2.9. Найдите высоту правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная.

Сторона основания, $a = 1$.

Боковое ребро, $l = 2$.

Найти:

Высоту пирамиды, $H$.

Решение:

В правильной шестиугольной пирамиде высота ($H$) опускается из вершины пирамиды в центр ее основания. Высота, боковое ребро ($l$) и радиус ($R$) окружности, описанной около основания, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а высота и радиус — катетами.

Согласно теореме Пифагора, мы можем записать соотношение:

$H^2 + R^2 = l^2$

Отсюда, для того чтобы найти высоту $H$, нам нужно выразить ее из формулы:

$H = \sqrt{l^2 - R^2}$

Основанием пирамиды является правильный шестиугольник. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. В нашем случае сторона основания $a=1$, следовательно, радиус описанной окружности $R=1$.

Теперь подставим известные значения в формулу для высоты:

$H = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.

2.10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в два раза?

Это задача на подобие геометрических тел. Если все линейные размеры тела (в данном случае - все ребра пирамиды) увеличиваются в одно и то же число раз, то новое тело будет подобно исходному.

Дано:
Коэффициент увеличения ребер (коэффициент подобия) $k = 2$.
$S_1$ - площадь поверхности исходной пирамиды.
$S_2$ - площадь поверхности новой пирамиды.

Найти:
Во сколько раз увеличится площадь поверхности, то есть найти отношение $\frac{S_2}{S_1}$.

Решение:
Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$), которая, в свою очередь, является суммой площадей треугольных граней.
Общая формула для площади поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок}$.
Согласно свойству подобных фигур, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Это свойство применимо ко всем граням пирамиды, так как все они являются плоскими фигурами (многоугольниками).
Пусть $S_{1,i}$ - площадь $i$-й грани исходной пирамиды, а $S_{2,i}$ - площадь соответствующей грани новой пирамиды. Тогда:
$\frac{S_{2,i}}{S_{1,i}} = k^2$
Поскольку это верно для каждой грани, то и для суммы площадей всех граней (то есть для всей площади поверхности) это соотношение также будет верным.
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{S_{2, осн} + S_{2, бок}}{S_{1, осн} + S_{1, бок}} = \frac{k^2 \cdot S_{1, осн} + k^2 \cdot S_{1, бок}}{S_{1, осн} + S_{1, бок}} = \frac{k^2 (S_{1, осн} + S_{1, бок})}{S_{1, осн} + S_{1, бок}} = k^2$
Подставим в формулу значение коэффициента подобия $k = 2$:
$\frac{S_2}{S_1} = 2^2 = 4$
Следовательно, площадь поверхности пирамиды увеличится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

2.11. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в три раза?

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды ($S$) состоит из суммы площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$), которая, в свою очередь, является суммой площадей всех боковых граней-треугольников.

$S = S_{осн} + S_{бок}$

Когда все ребра пирамиды уменьшаются в определенное количество раз, мы получаем новую пирамиду, которая подобна исходной. Коэффициент подобия $k$ - это отношение длин соответствующих линейных элементов (в данном случае, ребер) новой и старой фигур.

По условию задачи, все ребра уменьшили в 3 раза. Значит, коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{1}{3}$

Общая теорема подобия гласит, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Это утверждение справедливо для любой плоской фигуры, а значит, и для основания пирамиды, и для каждой из ее боковых граней.

Пусть $S$ и $S'$ – площади поверхности исходной и новой пирамид соответственно. Тогда отношение их площадей будет равно:

$\frac{S'}{S} = k^2$

Подставим значение коэффициента подобия $k = \frac{1}{3}$ в формулу:

$\frac{S'}{S} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Это соотношение показывает, что новая площадь $S'$ в 9 раз меньше исходной площади $S$. Чтобы ответить на вопрос, во сколько раз уменьшится площадь, нужно найти отношение $\frac{S}{S'}$:

$\frac{S}{S'} = \frac{1}{1/9} = 9$

Таким образом, площадь поверхности пирамиды уменьшится в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

2.12. На листе бумаги в клетку изобразите усеченные пирамиды, аналогичные данным на рисунке 2.11.

а)

б)

Рис. 2.11

а)

Для того чтобы нарисовать усеченную треугольную пирамиду, аналогичную представленной на рисунке а), необходимо выполнить следующие шаги на бумаге в клетку. За единицу измерения примем сторону одной клетки.

1. Построение нижнего основания (треугольника).

Отметьте на сетке три вершины нижнего основания в следующих координатах, выбрав произвольное начало отсчета: A(1, 1), B(5, 1), C(4, 2).
- Соедините точки A и B сплошной линией, так как это видимое переднее ребро.
- Соедините точки A с C и B с C пунктирными линиями, так как эти ребра являются невидимыми.

2. Построение верхнего основания (треугольника).

Отметьте три вершины верхнего основания в координатах: A'(2, 4), B'(4, 4), C'(3, 5).
- Соедините точки A', B' и C' между собой сплошными линиями. Все ребра верхнего основания видимы.

3. Построение боковых ребер.

Соедините соответствующие вершины нижнего и верхнего оснований.
- Соедините A(1, 1) с A'(2, 4) сплошной линией.
- Соедините B(5, 1) с B'(4, 4) сплошной линией.
- Соедините C(4, 2) с C'(3, 5) пунктирной линией, так как это невидимое боковое ребро.

Ответ: Выполнив все шаги, вы получите изображение усеченной треугольной пирамиды, аналогичное рисунку а).

б)

Для того чтобы нарисовать усеченную четырехугольную пирамиду, аналогичную представленной на рисунке б), необходимо выполнить следующие шаги на бумаге в клетку.

1. Построение нижнего основания (четырехугольника).

Отметьте четыре вершины нижнего основания в координатах: A(1, 2), B(6, 1), C(8, 3), D(2, 3).
- Соедините точки A с B и B с C сплошными линиями (видимые ребра).
- Соедините точки C с D и D с A пунктирными линиями (невидимые ребра).

2. Построение верхнего основания (четырехугольника).

Отметьте четыре вершины верхнего основания в координатах: A'(2, 5), B'(5, 4), C'(6, 5), D'(3, 6).
- Соедините эти точки последовательно сплошными линиями: A'B', B'C', C'D' и D'A'. Все ребра верхнего основания видимы.

3. Построение боковых ребер.

Соедините соответствующие вершины нижнего и верхнего оснований.
- Соедините A(1, 2) с A'(2, 5), B(6, 1) с B'(5, 4) и C(8, 3) с C'(6, 5) сплошными линиями.
- Соедините D(2, 3) с D'(3, 6) пунктирной линией (невидимое ребро).

Ответ: Выполнив все шаги, вы получите изображение усеченной четырехугольной пирамиды, аналогичное рисунку б).

2.13. Нарисуйте развертку правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

Решение

Правильная четырехугольная усеченная пирамида – это многогранник, полученный из правильной четырехугольной пирамиды путем отсечения ее вершины плоскостью, параллельной основанию. Ее поверхность состоит из двух оснований и боковой поверхности. Основаниями являются два квадрата (больший и меньший), а боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных трапеций.

Развертка представляет собой плоскую фигуру, из которой можно сложить данное тело. Для построения развертки правильной четырехугольной усеченной пирамиды необходимо на плоскости изобразить все ее грани так, чтобы их можно было "собрать" обратно в пирамиду. Для построения развертки сначала рисуют большой квадрат, который является нижним основанием. Затем к каждой стороне этого квадрата пристраивают по одной трапеции так, чтобы их большие основания совпадали со сторонами квадрата. Наконец, к одному из меньших оснований любой трапеции пристраивают малый квадрат - верхнее основание пирамиды.

Визуальное представление такой развертки можно увидеть на рисунке:

Ответ:

Развертка правильной четырехугольной усеченной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из одного большого квадрата (нижнее основание), четырех примыкающих к его сторонам равных равнобедренных трапеций (боковые грани) и одного малого квадрата (верхнее основание), примыкающего к меньшему основанию одной из трапеций. Пример такой развертки представлен на рисунке в решении.

2.14. Нарисуйте развертку правильной шестиугольной усеченной пирамиды.

Решение

Правильная шестиугольная усеченная пирамида — это многогранник, у которого основаниями являются два правильных шестиугольника (больший и меньший), а боковые грани — шесть равных равнобедренных трапеций. Развертка этой фигуры представляет собой плоскую схему всех ее граней, которые соединены между собой и могут быть сложены для получения объемной пирамиды.

Чтобы нарисовать развертку, можно следовать такому плану: 1. Начертить на плоскости больший шестиугольник (нижнее основание). 2. К каждой его стороне пристроить по одной равнобедренной трапеции. 3. К одной из свободных (верхних) сторон одной из трапеций пристроить меньший шестиугольник (верхнее основание). Все трапеции должны быть одинаковыми, а шестиугольники — правильными. Стороны фигур, которые будут соединяться, должны быть равны.

Пример такой развертки, где сторона большого основания $a$, сторона малого основания $b$ и высота боковой грани (трапеции) $h$, показан на рисунке ниже:

Ответ:

Развертка правильной шестиугольной усеченной пирамиды состоит из одного большого правильного шестиугольника (нижнего основания), одного малого правильного шестиугольника (верхнего основания) и шести одинаковых равнобедренных трапеций (боковых граней), соединенных между собой так, как это представлено на рисунке в решении. Большой шестиугольник является центральной фигурой, к каждой его стороне примыкает основание одной из трапеций, а малый шестиугольник примыкает к одному из свободных оснований трапеций.

2.15. Найдите высоту правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 4 и 2, а боковые ребра равны 3.

Дано:

Правильная четырехугольная усеченная пирамида

Сторона большего основания $a = 4$

Сторона меньшего основания $b = 2$

Боковое ребро $l = 3$

Найти:

Высоту пирамиды $h$

Решение:

Высота правильной усеченной пирамиды $h$ является катетом в прямоугольном треугольнике. Гипотенузой этого треугольника является боковое ребро $l$, а вторым катетом — проекция бокового ребра на плоскость большего основания.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды ($l$). Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $h$.

1. Найдем длины диагоналей оснований. Так как основания — квадраты, их диагонали вычисляются по формуле $d = \text{сторона} \cdot \sqrt{2}$.

Диагональ большего основания:

$d_1 = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Диагональ меньшего основания:

$d_2 = b\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

2. В равнобедренной трапеции, образованной диагональным сечением, опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Эта высота разделит большее основание на два отрезка. Длина отрезка, который является катетом в нашем прямоугольном треугольнике (вместе с высотой $h$ и боковым ребром $l$), равна полуразности диагоналей.

Найдем длину этого катета (проекции бокового ребра):

$x = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

3. Теперь по теореме Пифагора найдем высоту $h$ из прямоугольного треугольника с гипотенузой $l$ и катетами $h$ и $x$:

$l^2 = h^2 + x^2$

Отсюда выразим $h^2$:

$h^2 = l^2 - x^2$

Подставим известные значения:

$h^2 = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$

$h = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$.

2.16. Найдите боковые ребра правильной шестиугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 2 и 1, а высота равна 3.

Дано:

Правильная шестиугольная усеченная пирамида.
Сторона большего основания, $a = 2$.
Сторона меньшего основания, $b = 1$.
Высота пирамиды, $h = 3$.

Найти:

Длину бокового ребра $L$.

Решение:

Для нахождения длины бокового ребра правильной усеченной пирамиды можно использовать теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и разность радиусов $R_1 - R_2$ окружностей, описанных около оснований, а гипотенузой — искомое боковое ребро $L$.

Сначала найдем радиусы окружностей, описанных около оснований. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен длине его стороны.

Радиус окружности, описанной около большего основания (со стороной $a = 2$):
$R_1 = a = 2$

Радиус окружности, описанной около меньшего основания (со стороной $b = 1$):
$R_2 = b = 1$

Теперь можем использовать формулу для вычисления квадрата длины бокового ребра:

$L^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$

Подставим известные значения в эту формулу:

$L^2 = 3^2 + (2 - 1)^2$

$L^2 = 9 + 1^2$

$L^2 = 9 + 1$

$L^2 = 10$

Отсюда находим длину бокового ребра $L$:

$L = \sqrt{10}$

Ответ: $\sqrt{10}$.

2.17. Дворец мира и согласия в Нур-Султане (рис. 2.12) имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 62 м. Найдите площадь боковой поверхности Дворца.

Рис. 2.12

Дано:

Пирамида — правильная четырехугольная.
Сторона основания $a = 62$ м.
Высота пирамиды $H = 62$ м.

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ - ?

Решение:

Дворец мира и согласия представляет собой правильную четырехугольную пирамиду. Это означает, что в ее основании лежит квадрат, а боковые грани — равные между собой равнобедренные треугольники.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем периметр основания. Так как основание — квадрат со стороной $a = 62$ м, его периметр равен: $P = 4 \cdot a = 4 \cdot 62 = 248$ м.

2. Найдем апофему $l$. Апофему можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и половина стороны основания (или апофема основания) $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения: $H = 62$ м
$\frac{a}{2} = \frac{62}{2} = 31$ м

Выполним вычисления: $l^2 = 62^2 + 31^2 = 3844 + 961 = 4805$

Отсюда апофема равна: $l = \sqrt{4805}$ м.

Для удобства дальнейших вычислений упростим корень. Заметим, что $4805 = 5 \cdot 961$, а $961 = 31^2$. Тогда, $l = \sqrt{31^2 \cdot 5} = 31\sqrt{5}$ м.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности пирамиды, подставив найденные значения периметра и апофемы в формулу: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 248 \cdot 31\sqrt{5}$

$S_{бок} = 124 \cdot 31\sqrt{5} = 3844\sqrt{5}$ м².

Ответ: Площадь боковой поверхности Дворца равна $3844\sqrt{5}$ м².