Страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.32. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Решение:

Для ответа на данный вопрос необходимо сперва определить понятия выпуклого многогранника и выпуклого многоугольника. Многогранник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. В противном случае многогранник является невыпуклым. Многоугольник является выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

В качестве примера невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками, рассмотрим следующую конструкцию.

Возьмём за основу выпуклый многогранник — куб. Все 6 его граней являются квадратами, а квадрат — это выпуклый многоугольник.

Теперь преобразуем куб. Выберем одну из его граней (например, верхнюю) и заменим её на "впадину", имеющую форму четырёхугольной пирамиды. Основание этой пирамиды будет совпадать с выбранной гранью куба, а вершина пирамиды будет находиться внутри куба (например, в его геометрическом центре).

Полученный в результате новый многогранник будет состоять из 9 граней: 5 граней исходного куба и 4 треугольные грани, образующие боковую поверхность "вдавленной" пирамиды. Формально, у него $5 + 4 = 9$ граней.

Проверим грани этого многогранника. 5 граней являются квадратами, а 4 грани — треугольниками. И квадраты, и треугольники являются выпуклыми многоугольниками. Таким образом, условие о выпуклости всех граней выполняется.

Теперь докажем, что сам многогранник невыпуклый. Из-за наличия "впадины" многогранник не будет лежать по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Например, если рассмотреть плоскость, содержащую одну из треугольных граней впадины, то часть многогранника (оставшаяся часть куба) окажется по одну сторону от этой плоскости, а другая часть (другие треугольные грани впадины) — по другую. Более наглядно, можно взять две точки $A$ и $B$ внутри многогранника, расположенные у двух противоположных ребер бывшей верхней грани куба. Отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$, может пройти над вершиной впадины, то есть выйти за пределы многогранника. Следовательно, этот многогранник не является выпуклым.

Ответ: Примером невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками, может служить куб, у которого одна из граней заменена на впадину в виде четырёхугольной пирамиды, основание которой совпадает с этой гранью, а вершина находится внутри куба.

1.33. Докажите, что если гранями многогранника являются только треугольники, то утроенное число граней равно удвоенному числу ребер ($3F = 2E$). Сколько граней у такого многогранника, если число ребер равно 6? Приведите пример такого многогранника.

Докажите, что если гранями многогранника являются только треугольники, то утроенное число граней равно удвоенному числу ребер.

Решение:

Обозначим число граней многогранника буквой $Г$, а число его ребер — буквой $Р$.

По условию задачи, все грани многогранника являются треугольниками. Каждый треугольник имеет 3 стороны (ребра).

Если мы подсчитаем общее количество ребер, принадлежащих всем граням, путем умножения числа граней на 3, мы получим величину $3 \times Г$.

В любом многограннике каждое ребро является общим для двух смежных граней. Это означает, что при предыдущем подсчете каждое ребро было учтено ровно два раза.

Следовательно, удвоенное число ребер многогранника, $2 \times Р$, равно общему числу сторон всех его граней, $3 \times Г$.

Отсюда мы получаем искомое соотношение: $3Г = 2Р$.

Ответ: Соотношение $3Г = 2Р$ доказано.

Сколько граней у такого многогранника, если число ребер равно 6?

Дано:

Тип граней — треугольники.

Число ребер $Р = 6$.

Найти:

Число граней $Г$.

Решение:

Воспользуемся доказанной в предыдущем пункте формулой $3Г = 2Р$.

Подставим известное значение числа ребер $Р = 6$ в данную формулу:

$3Г = 2 \times 6$

$3Г = 12$

$Г = \frac{12}{3}$

$Г = 4$

Ответ: У такого многогранника 4 грани.

Приведите пример такого многогранника.

Решение:

Многогранник, у которого все грани — треугольники, число граней равно 4, а число ребер равно 6, — это тетраэдр.

Тетраэдр (также известный как треугольная пирамида) имеет:

- 4 треугольные грани;

- 6 ребер;

- 4 вершины.

Он полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Пример такого многогранника — тетраэдр.

1.34. Докажите, что если гранями многогранника являются только четырехугольники, то учетверенное число граней равно удвоенному числу ребер, то есть $4F = 2E$. Сколько ребер у такого многогранника, если число граней равно 6? Приведите пример такого многогранника.

Докажите, что если гранями многогранника являются только четырехугольники, то учетверенное число граней равно удвоенному числу ребер.

Решение:
Пусть Г – это число граней многогранника, а Р – это число его ребер.
Согласно условию задачи, все грани многогранника являются четырехугольниками. Это означает, что у каждой грани есть 4 ребра.
Найдем общее количество ребер всех граней, если бы мы рассматривали их как отдельные фигуры. Для этого умножим число граней на количество ребер у одной грани: $4 \cdot Г$.
В конструкции многогранника каждое ребро является общим ровно для двух смежных граней. Следовательно, при подсчете общего количества ребер по граням ($4 \cdot Г$) каждое ребро самого многогранника было посчитано дважды.
Таким образом, чтобы получить истинное число ребер многогранника (Р), нужно сумму $4 \cdot Г$ разделить на 2, либо, что то же самое, удвоенное число ребер многогранника равно сумме ребер всех его граней: $2 \cdot Р = 4 \cdot Г$.
Данное равенство доказывает, что учетверенное число граней ($4 \cdot Г$) равно удвоенному числу ребер ($2 \cdot Р$).
Ответ: Утверждение доказано. Сумма числа сторон всех Г граней равна $4 \cdot Г$. Поскольку каждое ребро Р является общим для двух граней, эта сумма также равна $2 \cdot Р$. Следовательно, $4 \cdot Г = 2 \cdot Р$.

Сколько ребер у такого многогранника, если число граней равно 6?

Дано:
Многогранник, все грани которого являются четырехугольниками.
Число граней $Г = 6$.

Найти:
Число ребер $Р$.

Решение:
Воспользуемся соотношением, доказанным в предыдущем пункте: $4 \cdot Г = 2 \cdot Р$.
Подставим известное значение числа граней $Г = 6$ в данное равенство:
$4 \cdot 6 = 2 \cdot Р$
$24 = 2 \cdot Р$
Чтобы найти Р, разделим обе части уравнения на 2:
$Р = \frac{24}{2}$
$Р = 12$
Ответ: У такого многогранника 12 ребер.

Приведите пример такого многогранника.

Решение:
Требуется найти пример многогранника, у которого 6 граней и все они являются четырехугольниками. Таким условиям удовлетворяет куб.

• У куба 6 граней.
• Все грани куба - квадраты, которые являются частным случаем четырехугольника.
• Число ребер куба равно 12, что полностью соответствует вычислениям, произведенным во второй части задачи.

1.35. Докажите, что если из каждой вершины многогранника выходит три ребра, то утроенное число вершин равно удвоенному числу ребер. Сколько вершин у такого многогранника, если число ребер равно 15? Приведите пример такого многогранника.

Докажите, что если из каждой вершины многогранника выходит три ребра, то утроенное число вершин равно удвоенному числу ребер.

Решение:
Пусть $В$ — число вершин многогранника, а $Р$ — число его ребер.
По условию, из каждой вершины многогранника выходит ровно три ребра. Это означает, что степень каждой вершины равна 3.
Рассмотрим, как связаны вершины и ребра. Каждое ребро соединяет ровно две вершины, то есть имеет два конца.
Если мы посчитаем общее количество "концов" ребер, исходя из вершин, то, поскольку из каждой из $В$ вершин выходит 3 ребра, общее число концов составит $3 \cdot В$.
С другой стороны, это же общее количество концов ребер можно посчитать, исходя из самих ребер. Каждое из $Р$ ребер имеет два конца, поэтому общее число концов равно $2 \cdot Р$.
Поскольку оба способа подсчитывают одну и ту же величину (общую сумму степеней вершин, или общее число "концов" ребер), мы можем приравнять полученные выражения:
$3 \cdot В = 2 \cdot Р$
Это соотношение, известное как лемма о рукопожатиях для 3-регулярных графов, доказывает, что утроенное число вершин ($3В$) равно удвоенному числу ребер ($2Р$).
Ответ: Соотношение $3В = 2Р$ доказано.

Сколько вершин у такого многогранника, если число ребер равно 15?

Дано:

Число ребер $Р = 15$
Из каждой вершины выходит 3 ребра.

Найти:

Число вершин $В$

Решение:
Используем доказанную в предыдущем пункте формулу, связывающую число вершин и ребер для многогранника, у которого из каждой вершины выходит три ребра:
$3 \cdot В = 2 \cdot Р$
Подставим в формулу известное значение числа ребер $Р = 15$:
$3 \cdot В = 2 \cdot 15$
$3 \cdot В = 30$
Чтобы найти число вершин $В$, разделим обе части уравнения на 3:
$В = \frac{30}{3}$
$В = 10$
Следовательно, у такого многогранника 10 вершин.
Ответ: 10 вершин.

Приведите пример такого многогранника.

Решение:
Требуется найти пример многогранника, у которого 10 вершин ($В=10$) и 15 ребер ($Р=15$), и из каждой вершины выходит ровно 3 ребра.
Примером такого многогранника является пятиугольная призма.
Проверим ее характеристики:
1. Вершины: Пятиугольная призма имеет два основания в виде пятиугольников. Каждое основание имеет 5 вершин. Всего вершин: $5 + 5 = 10$. ($В=10$)
2. Ребра: Каждое из двух пятиугольных оснований имеет по 5 ребер. Кроме того, 5 боковых ребер соединяют соответствующие вершины оснований. Всего ребер: $5 + 5 + 5 = 15$. ($Р=15$)
3. Степень вершин: Каждая вершина призмы принадлежит одному из оснований. В каждой вершине сходятся два ребра, принадлежащих основанию, и одно боковое ребро, соединяющее основания. Таким образом, из каждой вершины выходит ровно 3 ребра.
Все условия задачи выполняются.
Для дополнительной проверки можно использовать теорему Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $Г$ — число граней. У пятиугольной призмы 2 основания (пятиугольники) и 5 боковых граней (четырехугольники), итого $Г = 2 + 5 = 7$ граней. Подставляем: $10 - 15 + 7 = -5 + 7 = 2$. Теорема выполняется, что подтверждает корректность примера.
Ответ: Пятиугольная призма.

1.36. Попробуйте определить понятие пирамиды. Из каких многоугольников состоит ее поверхность?

Попробуйте определить понятие пирамиды

Пирамида — это многогранник, который состоит из плоского многоугольника, называемого основанием, точки, не лежащей в плоскости основания, называемой вершиной, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Более строгое определение: пирамида — это многогранник, одна из граней которого (основание) — произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые грани) — треугольники, имеющие общую вершину.

Ответ: Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а боковыми гранями — треугольники, сходящиеся в одной общей вершине.

Из каких многоугольников состоит ее поверхность?

Полная поверхность пирамиды состоит из ее основания и боковой поверхности.
1. Основание — это один многоугольник. Он может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т.д. (в общем случае, n-угольником).
2. Боковая поверхность — это совокупность всех боковых граней. Каждая боковая грань пирамиды является треугольником. Число боковых граней (треугольников) равно числу сторон многоугольника в основании.

Ответ: Поверхность пирамиды состоит из одного многоугольника (основания) и нескольких треугольников (боковых граней).