Страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.2. На листе бумаги в клетку изобразите призмы, аналогичные данным на рисунке 1.9.

а)

б)

Рис. 1.9

а)

Решение

Для построения призмы, изображенной на рисунке а), необходимо выполнить следующие шаги на листе бумаги в клетку, принимая сторону клетки за единицу.

1. Отметьте 6 вершин призмы в следующих координатах (где первая координата – смещение вправо, а вторая – вверх от условного начала):

- Вершины верхнего основания: (1, 5), (3, 6), (5, 5).

- Вершины нижнего основания: (1, 1), (3, 2), (5, 1).

2. Соедините сплошными линиями видимые рёбра:

- Рёбра на переднем плане: от (1, 1) до (5, 1); от (1, 1) до (1, 5); от (5, 1) до (5, 5).

- Видимые рёбра верхнего основания: от (1, 5) до (3, 6); от (3, 6) до (5, 5).

3. Соедините пунктирными линиями невидимые рёбра:

- Заднее боковое ребро: от (3, 6) до (3, 2).

- Невидимые рёбра нижнего основания: от (1, 1) до (3, 2); от (3, 2) до (5, 1).

После выполнения этих шагов получится точная копия призмы с рисунка а).

Ответ: Изображение строится путем нанесения на сетку шести вершин с координатами (1,1), (5,1), (3,2) для нижнего основания и (1,5), (5,5), (3,6) для верхнего, с последующим соединением их линиями в соответствии с видимостью.

б)

Решение

Для построения шестиугольной призмы, изображенной на рисунке б), выполните следующие шаги на листе бумаги в клетку, принимая сторону клетки за единицу.

1. Отметьте 12 вершин призмы в следующих координатах:

- Вершины верхнего основания: (2, 6), (4, 7), (6, 7), (8, 6), (7, 5), (3, 5).

- Вершины нижнего основания: (2, 2), (4, 3), (6, 3), (8, 2), (7, 1), (3, 1).

2. Соедините сплошными линиями видимые рёбра:

- Рёбра контура верхнего основания: соедините последовательно точки (2, 6) → (4, 7) → (6, 7) → (8, 6) → (7, 5) → (3, 5) → (2, 6).

- Видимые рёбра нижнего основания: от (2, 2) до (3, 1); от (3, 1) до (7, 1); от (7, 1) до (8, 2).

- Крайние боковые рёбра: от (2, 6) до (2, 2); от (8, 6) до (8, 2).

3. Соедините пунктирными линиями невидимые рёбра:

- Невидимые рёбра нижнего основания: от (2, 2) до (4, 3); от (4, 3) до (6, 3); от (6, 3) до (8, 2).

- Невидимые боковые рёбра: от (4, 7) до (4, 3); от (6, 7) до (6, 3); от (7, 5) до (7, 1); от (3, 5) до (3, 1).

В результате будет получена призма, идентичная изображенной на рисунке б).

Ответ: Изображение строится путем нанесения на сетку двенадцати вершин (шести для верхнего основания и шести для нижнего) по указанным в решении координатам и их соединения сплошными (видимые рёбра) и пунктирными (невидимые рёбра) линиями.

1.3. На рисунке 1.10 укажите параллелепипеды.

а)

б)

в)

Рис. 1.10

Решение

Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом. Проанализируем каждую фигуру, изображенную на рисунке.

а) Данная фигура является многогранником с шестью гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Это соответствует определению параллелепипеда (в данном случае — наклонного).
Ответ: Фигура а) является параллелепипедом.

б) Данная фигура также является многогранником с шестью гранями. Все ее грани — прямоугольники. Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, эта фигура является параллелепипедом (прямоугольным).
Ответ: Фигура б) является параллелепипедом.

в) Данная фигура — это сложный многогранник, который имеет больше шести граней (в данном случае — 10 граней). Следовательно, он не соответствует определению параллелепипеда.
Ответ: Фигура в) не является параллелепипедом.

1.4. На рисунке 1.11 укажите призмы.

а)

б)

в)

Рис. 1.11

Решение

Для того чтобы определить, какие из представленных фигур являются призмами, воспользуемся определением призмы. Призма — это многогранник, у которого две грани (называемые основаниями) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (называемые боковыми) — параллелограммами, соединяющими соответствующие стороны оснований.

а) Данный многогранник имеет два основания в виде равных пятиугольников, которые лежат в параллельных плоскостях. Боковые грани, соединяющие соответствующие стороны оснований, являются четырехугольниками (параллелограммами). Следовательно, эта фигура является призмой (в данном случае — пятиугольной призмой).

Ответ: Фигура а) является призмой.

б) У этого многогранника также есть два равных основания, лежащих в параллельных плоскостях. Основания представляют собой невыпуклые шестиугольники (фигуры в форме буквы «Г»). Боковые грани являются прямоугольниками, которые являются частным случаем параллелограмма. Таким образом, эта фигура также является призмой.

Ответ: Фигура б) является призмой.

в) Этот многогранник не является призмой. Хотя у него есть две квадратные грани, которые параллельны друг другу, его боковые поверхности состоят из треугольников, а не из параллелограммов, как того требует определение призмы. Следовательно, данная фигура не является призмой.

Ответ: Фигура в) не является призмой.

1.5. На рисунке 1.12 найдите фигуры, которые являются развертками призм. Определите вид этих призм.

Решение

Для выполнения этого задания необходимо проанализировать каждую фигуру, предложенную на рисунке 1.12, и проверить, соответствует ли она определению развертки призмы. Поскольку сам рисунок отсутствует, ниже представлены общие принципы, по которым можно определить, является ли фигура разверткой призмы, и установить ее вид.

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

Развертка призмы — это плоская фигура, из которой можно сложить (склеить) модель призмы. Развертка любой призмы обладает следующими свойствами:

1. Она состоит из двух одинаковых (конгруэнтных) многоугольников, которые будут служить основаниями призмы.

2. Она также включает в себя несколько параллелограммов (в случае прямой призмы — прямоугольников), которые являются боковыми гранями. Количество боковых граней всегда равно количеству сторон у многоугольника в основании. Например, у треугольной призмы 3 боковые грани, у четырехугольной — 4, и так далее.

3. Боковые грани обычно соединены друг с другом сторонами и образуют "ленту" боковой поверхности. Два основания должны примыкать к этой "ленте" таким образом, чтобы при сворачивании фигуры они стали верхним и нижним основаниями и не перекрывали друг друга.

Чтобы решить задачу, для каждой фигуры на рисунке 1.12 нужно выполнить следующие шаги:

а) Найти два одинаковых многоугольника. Это потенциальные основания.

б) Посчитать количество сторон у этих многоугольников. Пусть это число будет $n$.

в) Проверить, есть ли на фигуре ровно $n$ четырехугольников (параллелограммов или прямоугольников), которые могут быть боковыми гранями.

г) Мысленно представить, можно ли "сложить" из данной плоской фигуры объёмное тело. Если получается замкнутый многогранник с двумя параллельными основаниями, то это развертка призмы.

Определение вида призмы:

Вид призмы определяется по форме ее основания. Если основания — треугольники, то это треугольная призма. Если основания — четырехугольники, то это четырехугольная призма (частными случаями которой являются куб и прямоугольный параллелепипед). Если основания — пятиугольники, то это пятиугольная призма. Если основания — шестиугольники, то это шестиугольная призма, и так далее.

Например, если на рисунке есть фигура, состоящая из двух равных шестиугольников и шести равных прямоугольников, и при этом шестиугольники присоединены к противоположным сторонам "ленты" из прямоугольников, то это развертка прямой шестиугольной призмы.

Ответ: Для определения фигур, являющихся развертками призм, необходимо найти на рисунке 1.12 те фигуры, которые состоят из двух равных многоугольников (оснований) и соответствующего им количества боковых граней-параллелограммов, расположенных так, что из них можно свернуть замкнутый многогранник. Вид призмы определяется по форме ее многоугольного основания (треугольная, четырехугольная и т.д.). Без самого рисунка 1.12 дать конкретный ответ по указанным фигурам невозможно.

16. Найдите диагональ куба, ребра которого равны 1.

Дано:

Куб, длина ребра которого $a = 1$.

Найти:

Диагональ куба $D$.

Решение:

Для нахождения диагонали куба $D$ можно использовать общую формулу, которая связывает диагональ с длиной ребра $a$. Эта формула выводится из теоремы Пифагора, примененной дважды.

1. Сначала найдем диагональ $d$ одной из граней куба (например, основания). Грань куба является квадратом со стороной $a$. Диагональ $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катеты которого — два ребра куба $a$.

По теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Подставим значение $a = 1$:

$d^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Следовательно, диагональ грани $d = \sqrt{2}$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю куба $D$ (она будет гипотенузой), диагональю грани $d$ (первый катет) и боковым ребром куба $a$ (второй катет).

Снова применяем теорему Пифагора:

$D^2 = d^2 + a^2$

Подставим известные значения $d^2 = 2$ и $a = 1$:

$D^2 = 2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$

Отсюда находим диагональ куба $D$:

$D = \sqrt{3}$

Можно также воспользоваться готовой формулой для диагонали куба: $D = a\sqrt{3}$.

Подставив $a = 1$, получим:

$D = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.

1.7. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 2, 3, 4.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед.
Ребра (измерения) параллелепипеда:
$a = 2$
$b = 3$
$c = 4$

Найти:

Диагональ параллелепипеда, $d$.

Решение:

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Формула для нахождения диагонали $d$ через его ребра $a$, $b$ и $c$ выглядит следующим образом:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда диагональ равна:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Подставим данные значения ребер в формулу:

$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}$

Вычислим квадраты чисел:

$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$

Теперь сложим полученные значения:

$d = \sqrt{4 + 9 + 16}$

$d = \sqrt{29}$

Число 29 является простым, поэтому корень из него не извлекается нацело. Оставляем ответ в виде иррационального числа.

Ответ: $d = \sqrt{29}$.

1.8. Боковое ребро призмы равно 2 и составляет с плоскостью основания угол $30^\circ$.Найдите высоту этой призмы.

а)

б)

в)

г)

Рис. 1.12

Дано:

Длина бокового ребра призмы, $l = 2$.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания, $\alpha = 30^\circ$.

Найти:

Высоту призмы, $H$.

Решение:

Высота призмы $H$, боковое ребро $l$ и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $H$ — катетом, который противолежит углу $\alpha$. Угол $\alpha$ — это угол между боковым ребром и плоскостью основания.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла:

$\sin(\alpha) = \frac{H}{l}$

Из этой формулы выражаем высоту $H$:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставим в формулу известные значения:

$H = 2 \cdot \sin(30^\circ)$

Поскольку значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$H = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Ответ: $1$.