Страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Дано:

Пусть $a_1$ — первоначальная длина ребра куба.

Пусть $a_2$ — новая длина ребра куба.

По условию, ребро увеличили в 3 раза, следовательно: $a_2 = 3a_1$.

Найти:

Отношение новой площади поверхности $S_2$ к первоначальной площади поверхности $S_1$, то есть $\frac{S_2}{S_1}$.

Решение:

Площадь поверхности куба состоит из площадей шести одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Площадь одного квадрата с ребром $a$ равна $a^2$. Следовательно, площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле:

$S = 6a^2$

1. Найдем площадь поверхности первоначального куба ($S_1$) с ребром $a_1$:

$S_1 = 6a_1^2$

2. Теперь найдем площадь поверхности нового куба ($S_2$) с ребром $a_2 = 3a_1$:

Подставим новое значение ребра в формулу площади поверхности:

$S_2 = 6a_2^2 = 6(3a_1)^2 = 6 \cdot (9a_1^2) = 54a_1^2$

3. Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь поверхности, найдем отношение новой площади к первоначальной:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{54a_1^2}{6a_1^2}$

Сократим одинаковые множители $a_1^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{54}{6} = 9$

Таким образом, площадь поверхности куба увеличится в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

1.10. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если все его ребра уменьшить в 2 раза?

Дано:

Пусть $a, b, c$ — исходные длины ребер прямоугольного параллелепипеда.

Пусть $a', b', c'$ — новые длины ребер после уменьшения.

По условию, каждое ребро уменьшено в 2 раза, следовательно:

$a' = \frac{a}{2}$

$b' = \frac{b}{2}$

$c' = \frac{c}{2}$

Найти:

Отношение исходной площади поверхности ($S_1$) к новой площади поверхности ($S_2$), то есть $\frac{S_1}{S_2}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется как сумма площадей всех его шести граней. Формула для площади поверхности ($S_1$) с ребрами $a, b, c$ имеет вид:

$S_1 = 2(ab + bc + ac)$

Теперь найдем площадь поверхности нового параллелепипеда ($S_2$) с ребрами $a', b', c'$:

$S_2 = 2(a'b' + b'c' + a'c')$

Подставим в эту формулу выражения для новых ребер:

$S_2 = 2\left(\frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} + \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{2} + \frac{a}{2} \cdot \frac{c}{2}\right)$

Выполним умножение в скобках:

$S_2 = 2\left(\frac{ab}{4} + \frac{bc}{4} + \frac{ac}{4}\right)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$S_2 = 2 \cdot \frac{1}{4}(ab + bc + ac)$

$S_2 = \frac{1}{4} \cdot [2(ab + bc + ac)]$

Выражение в квадратных скобках — это исходная площадь поверхности $S_1$. Таким образом, мы получаем связь между новой и старой площадями:

$S_2 = \frac{1}{4}S_1$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшилась площадь поверхности, найдем отношение исходной площади к новой:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_1}{\frac{1}{4}S_1} = 1 \div \frac{1}{4} = 1 \cdot 4 = 4$

Следовательно, площадь поверхности уменьшилась в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

1.11. Во сколько раз увеличится площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в два раза?

Дано:

Исходная призма с площадью полной поверхности $S_{1}$.

Коэффициент увеличения всех ребер призмы: $k = 2$.

Найти:

Отношение новой площади полной поверхности $S_{2}$ к исходной $S_{1}$, то есть $\frac{S_{2}}{S_{1}}$.

Решение:

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Рассмотрим, как изменится каждая из этих составляющих при увеличении всех ребер призмы в 2 раза.

1. Площадь основания ($S_{осн}$). Основанием призмы является многоугольник. Площадь любой плоской фигуры пропорциональна квадрату ее линейных размеров. Если все стороны многоугольника (ребра основания) увеличить в 2 раза, то его площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза. Обозначим исходную площадь основания как $S_{1, осн}$, а новую – как $S_{2, осн}$. Тогда:

$S_{2, осн} = 4 \cdot S_{1, осн}$

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Боковая поверхность призмы состоит из нескольких граней-параллелограммов (в случае прямой призмы – прямоугольников). Площадь каждой такой грани определяется произведением длин двух ребер (например, ребра основания и бокового ребра). Поскольку и ребра основания, и боковые ребра увеличиваются в 2 раза, площадь каждой боковой грани увеличится в $2 \cdot 2 = 4$ раза. Соответственно, вся боковая поверхность, являясь суммой площадей этих граней, также увеличится в 4 раза. Обозначим исходную боковую площадь как $S_{1, бок}$, а новую – как $S_{2, бок}$. Тогда:

$S_{2, бок} = 4 \cdot S_{1, бок}$

3. Новая площадь полной поверхности ($S_{2}$). Подставим новые значения площадей в формулу полной поверхности:

$S_{2} = S_{2, бок} + 2S_{2, осн}$

$S_{2} = (4 \cdot S_{1, бок}) + 2 \cdot (4 \cdot S_{1, осн})$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$S_{2} = 4 \cdot (S_{1, бок} + 2S_{1, осн})$

Выражение в скобках — это в точности формула для исходной площади полной поверхности $S_{1}$. Таким образом, получаем:

$S_{2} = 4 \cdot S_{1}$

Найдем искомое отношение, чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь:

$\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{4S_{1}}{S_{1}} = 4$

Таким образом, площадь поверхности призмы увеличится в 4 раза. Этот результат является следствием общего принципа подобия: при увеличении всех линейных размеров тела в $k$ раз, площадь его поверхности увеличивается в $k^2$ раз.

Ответ: в 4 раза.

1.12. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 5, 4, 3.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед, у которого ребра, выходящие из одной вершины, равны:

Длина $a = 5$

Ширина $b = 4$

Высота $c = 3$

Найти:

Площадь поверхности параллелепипеда $S$.

Решение:

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда — это сумма площадей всех его шести граней. Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Противоположные грани равны. Таким образом, у нас есть три пары равных граней.

Площадь двух оснований (верхнего и нижнего) равна $2 \cdot a \cdot b$.

Площадь двух боковых граней (передней и задней) равна $2 \cdot a \cdot c$.

Площадь двух других боковых граней (левой и правой) равна $2 \cdot b \cdot c$.

Формула для вычисления полной площади поверхности прямоугольного параллелепипеда выглядит следующим образом:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим в формулу данные значения длин ребер:

$a = 5$, $b = 4$, $c = 3$.

Вычислим площади каждой пары граней:

Площадь оснований: $2 \cdot (5 \cdot 4) = 2 \cdot 20 = 40$.

Площадь передней и задней граней: $2 \cdot (5 \cdot 3) = 2 \cdot 15 = 30$.

Площадь левой и правой граней: $2 \cdot (4 \cdot 3) = 2 \cdot 12 = 24$.

Теперь сложим площади всех граней, чтобы найти общую площадь поверхности:

$S = 40 + 30 + 24 = 94$.

Или, используя общую формулу:

$S = 2(5 \cdot 4 + 5 \cdot 3 + 4 \cdot 3) = 2(20 + 15 + 12) = 2 \cdot 47 = 94$.

Ответ: $94$ квадратных единиц.

1.13. Найдите площадь поверхности правильной треугольной призмы, ребра которой равны 1 (рис. 1.13).

$A$, $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$

Рис. 1.13

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер равна 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и боковое ребро (высота) $h=1$.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a=1$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a=1$ в формулу:

$S_{осн} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).

Боковая поверхность призмы состоит из трех одинаковых прямоугольных граней. Поскольку все ребра призмы равны 1, эти грани являются квадратами со стороной 1. Площадь одного такого квадрата равна:

$S_{грани} = a \cdot h = 1 \cdot 1 = 1$

Так как боковых граней три, площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 1 = 3$

3. Вычислим площадь полной поверхности призмы.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $S_{бок}$ в исходную формулу:

$S_{полн} = 3 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 3 + \frac{2\sqrt{3}}{4} = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

1.14. Найдите площадь поверхности правильной шестиугольной призмы, ребра которой равны 1 (рис. 1.14).

Рис. 1.14

Дано:

Правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер равна 1.

Сторона основания $a = 1$.

Высота призмы (длина бокового ребра) $h = 1$.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).

Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы состоит из шести одинаковых прямоугольников. По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Следовательно, каждая боковая грань является квадратом со стороной 1. Площадь одной такой грани:

$S_{грани} = a \cdot h = 1 \cdot 1 = 1$

Так как боковых граней шесть, то площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 6 \cdot S_{грани} = 6 \cdot 1 = 6$

2. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 1$. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Подставим значение стороны $a = 1$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. Найдем площадь полной поверхности призмы.

Теперь подставим найденные значения $S_{бок}$ и $S_{осн}$ в исходную формулу:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 6 + 2 \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = 6 + 3\sqrt{3}$

Ответ: $6 + 3\sqrt{3}$.

1.15. Какие из изображенных на рисунке 1.15 фигур являются развертками куба?

На предоставленном изображении отсутствует рисунок 1.15 с фигурами, поэтому дать однозначный ответ, какие из них являются развертками куба, невозможно. Однако можно сформулировать общие правила и признаки, по которым определяется, является ли плоская фигура из шести квадратов разверткой куба.

Решение

Развертка куба — это плоская фигура (также известная как гексамино), которую можно сложить, чтобы получить объемный куб. Чтобы определить, является ли фигура разверткой куба, она должна удовлетворять следующим условиям:

1. Состоять ровно из шести квадратов. Это соответствует шести граням куба.

2. Квадраты должны быть соединены ребро к ребру. Это значит, что у соседних квадратов есть общая сторона.

3. При мысленном сворачивании не должно быть перекрытий. Все шесть квадратов должны занять уникальные позиции граней куба (основание, крышка и четыре боковые стенки), образуя замкнутую фигуру.

Самый надежный способ проверки — это мысленное сворачивание. Выберите один квадрат за основание. Соседние с ним квадраты мысленно поднимите вверх — это будут боковые стенки. Оставшиеся квадраты должны сформировать недостающие стенки и крышку (верхнюю грань), которая должна оказаться параллельной основанию. Если в процессе сворачивания какие-либо два квадрата претендуют на одно и то же место (накладываются) или какая-то грань остается пустой, то фигура не является разверткой.

Распространенные случаи, когда фигура НЕ является разверткой куба:

- Фигура состоит не из шести квадратов.

- Четыре квадрата имеют общую вершину (образуют блок 2×2). В вершине куба могут сходиться только три грани, а не четыре.

- Линия из пяти или шести квадратов. При сворачивании такой линии грани неизбежно наложатся друг на друга, и собрать замкнутый куб не получится.

- Неправильное расположение «крышек». Например, если развертка имеет основную полосу из 4 квадратов, то две оставшиеся грани (верхняя и нижняя) не могут быть расположены так, чтобы при сворачивании они наложились друг на друга.

Всего существует 11 различных видов разверток куба. Для решения исходной задачи нужно проанализировать каждую фигуру на рисунке 1.15, используя предложенный метод мысленной сборки.

Ответ:

Так как изображение с фигурами (рисунок 1.15) не предоставлено, дать конкретный ответ невозможно. Развертками куба являются те фигуры, которые состоят из шести соединенных ребрами квадратов и могут быть свернуты в куб без наложения граней.

1.16. Диагональ куба равна 1. Найдите ребра этого куба.

Дано:

Куб
Диагональ куба $d = 1$

Найти:

Ребро куба $a$

Решение:

Связь между диагональю куба ($d$) и его ребром ($a$) выражается формулой. Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Поскольку у куба все ребра равны, обозначим длину ребра как $a$. Тогда, по пространственной теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем формулу для диагонали:

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

По условию задачи, диагональ $d = 1$. Подставим это значение в формулу:

$1 = a\sqrt{3}$

Выразим из этого уравнения ребро $a$:

$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: ребро этого куба равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1.17. Нарисуйте развертку правильной шестиугольной призмы.

Правильная шестиугольная призма — это объёмное тело, у которого основаниями служат два равных правильных шестиугольника, расположенных в параллельных плоскостях, а боковые грани являются равными прямоугольниками, перпендикулярными основаниям.

Развертка геометрического тела — это плоская фигура, которая получается при разрезании поверхности тела по некоторым рёбрам и разворачивании её на плоскость. Развертку можно согнуть по линиям сгиба, чтобы снова получить исходное объёмное тело.

Развертка правильной шестиугольной призмы состоит из двух основных частей: боковой поверхности и двух оснований. Боковая поверхность разворачивается в один большой прямоугольник, состоящий из шести меньших, равных друг другу прямоугольников (боковых граней призмы). Основаниями являются два равных правильных шестиугольника.

Для того чтобы нарисовать развертку, обычно располагают шесть прямоугольников боковой поверхности в один ряд. Затем к противоположным сторонам одной из боковых граней (например, первой) пририсовывают два шестиугольных основания.

Ниже представлен чертеж одного из возможных вариантов развертки правильной шестиугольной призмы. Пусть сторона основания равна $a$, а высота призмы равна $h$.

На чертеже показана развертка, состоящая из шести примыкающих друг к другу прямоугольников со сторонами $a$ и $h$, и двух правильных шестиугольников со стороной $a$. Пунктирные линии обозначают места будущих сгибов.

Ответ: Развертка правильной шестиугольной призмы представляет собой плоскую фигуру, состоящую из шести одинаковых прямоугольников (боковая поверхность), выстроенных в ряд, и двух одинаковых правильных шестиугольников (основания), присоединенных к одной из боковых граней с противоположных сторон. Пример такой развертки показан на чертеже.

1.18. Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1.

Дано:

Правильная шестиугольная призма.
Длина всех ребер равна 1, следовательно:
Сторона основания: $a = 1$.
Высота призмы (боковое ребро): $h = 1$.

Найти:

Длины диагоналей призмы, $D$.

Решение:

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани. В правильной шестиугольной призме существует два типа таких диагоналей, различающихся по длине. Длина диагонали призмы ($D$) вычисляется по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота призмы ($h$) и соответствующая диагональ основания ($d$).

Формула для расчета: $D = \sqrt{d^2 + h^2}$.

Для начала необходимо найти длины диагоналей правильного шестиугольника, лежащего в основании призмы, со стороной $a=1$.

1. Нахождение короткой диагонали основания ($d_1$).
Короткая диагональ соединяет вершины через одну (например, A и C). Она является основанием равнобедренного треугольника $ABC$, где стороны $AB = BC = 1$, а угол между ними $\angle ABC$ равен внутреннему углу правильного шестиугольника, то есть $120^\circ$.
По теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
Следовательно, длина короткой диагонали основания: $d_1 = \sqrt{3}$.

2. Нахождение большой диагонали основания ($d_2$).
Большая диагональ соединяет противоположные вершины (например, A и D). Её длина равна удвоенной стороне основания:
$d_2 = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь, зная длины диагоналей основания ($d_1 = \sqrt{3}$ и $d_2 = 2$) и высоту призмы ($h=1$), можно вычислить длины диагоналей самой призмы.

3. Длина диагонали призмы, опирающейся на короткую диагональ основания ($D_1$).
$D_1 = \sqrt{d_1^2 + h^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

4. Длина диагонали призмы, опирающейся на большую диагональ основания ($D_2$).
$D_2 = \sqrt{d_2^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Таким образом, данная призма имеет диагонали двух различных длин.

Ответ: диагонали правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1, имеют длины $2$ и $\sqrt{5}$.

1.19. Стороны основания правильной шестиугольной призмы равны 1. Ее большая диагональ равна 3. Найдите высоту этой призмы.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 1.15

Дано:

Правильная шестиугольная призма

Сторона основания, $a = 1$

Большая диагональ призмы, $D = 3$

Найти:

Высоту призмы, $h$

Решение:

В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Большая диагональ основания ($d$) связана со стороной основания ($a$) соотношением $d = 2a$.

Найдем длину большей диагонали основания:

$d = 2 \cdot 1 = 2$

Большая диагональ призмы ($D$), высота призмы ($h$) и большая диагональ основания ($d$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике большая диагональ призмы $D$ является гипотенузой, а высота $h$ и большая диагональ основания $d$ — катетами.

По теореме Пифагора:

$D^2 = h^2 + d^2$

Выразим из этого уравнения высоту $h$:

$h^2 = D^2 - d^2$

$h = \sqrt{D^2 - d^2}$

Подставим известные значения $D = 3$ и $d = 2$ в формулу:

$h = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$