Номер 1.11, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.11. Во сколько раз увеличится площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в два раза?

Дано:

Исходная призма с площадью полной поверхности $S_{1}$.

Коэффициент увеличения всех ребер призмы: $k = 2$.

Найти:

Отношение новой площади полной поверхности $S_{2}$ к исходной $S_{1}$, то есть $\frac{S_{2}}{S_{1}}$.

Решение:

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Рассмотрим, как изменится каждая из этих составляющих при увеличении всех ребер призмы в 2 раза.

1. Площадь основания ($S_{осн}$). Основанием призмы является многоугольник. Площадь любой плоской фигуры пропорциональна квадрату ее линейных размеров. Если все стороны многоугольника (ребра основания) увеличить в 2 раза, то его площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза. Обозначим исходную площадь основания как $S_{1, осн}$, а новую – как $S_{2, осн}$. Тогда:

$S_{2, осн} = 4 \cdot S_{1, осн}$

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Боковая поверхность призмы состоит из нескольких граней-параллелограммов (в случае прямой призмы – прямоугольников). Площадь каждой такой грани определяется произведением длин двух ребер (например, ребра основания и бокового ребра). Поскольку и ребра основания, и боковые ребра увеличиваются в 2 раза, площадь каждой боковой грани увеличится в $2 \cdot 2 = 4$ раза. Соответственно, вся боковая поверхность, являясь суммой площадей этих граней, также увеличится в 4 раза. Обозначим исходную боковую площадь как $S_{1, бок}$, а новую – как $S_{2, бок}$. Тогда:

$S_{2, бок} = 4 \cdot S_{1, бок}$

3. Новая площадь полной поверхности ($S_{2}$). Подставим новые значения площадей в формулу полной поверхности:

$S_{2} = S_{2, бок} + 2S_{2, осн}$

$S_{2} = (4 \cdot S_{1, бок}) + 2 \cdot (4 \cdot S_{1, осн})$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$S_{2} = 4 \cdot (S_{1, бок} + 2S_{1, осн})$

Выражение в скобках — это в точности формула для исходной площади полной поверхности $S_{1}$. Таким образом, получаем:

$S_{2} = 4 \cdot S_{1}$

Найдем искомое отношение, чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь:

$\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{4S_{1}}{S_{1}} = 4$

Таким образом, площадь поверхности призмы увеличится в 4 раза. Этот результат является следствием общего принципа подобия: при увеличении всех линейных размеров тела в $k$ раз, площадь его поверхности увеличивается в $k^2$ раз.

Ответ: в 4 раза.