Номер 1.10, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.10. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если все его ребра уменьшить в 2 раза?

Дано:

Пусть $a, b, c$ — исходные длины ребер прямоугольного параллелепипеда.

Пусть $a', b', c'$ — новые длины ребер после уменьшения.

По условию, каждое ребро уменьшено в 2 раза, следовательно:

$a' = \frac{a}{2}$

$b' = \frac{b}{2}$

$c' = \frac{c}{2}$

Найти:

Отношение исходной площади поверхности ($S_1$) к новой площади поверхности ($S_2$), то есть $\frac{S_1}{S_2}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется как сумма площадей всех его шести граней. Формула для площади поверхности ($S_1$) с ребрами $a, b, c$ имеет вид:

$S_1 = 2(ab + bc + ac)$

Теперь найдем площадь поверхности нового параллелепипеда ($S_2$) с ребрами $a', b', c'$:

$S_2 = 2(a'b' + b'c' + a'c')$

Подставим в эту формулу выражения для новых ребер:

$S_2 = 2\left(\frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} + \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{2} + \frac{a}{2} \cdot \frac{c}{2}\right)$

Выполним умножение в скобках:

$S_2 = 2\left(\frac{ab}{4} + \frac{bc}{4} + \frac{ac}{4}\right)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$S_2 = 2 \cdot \frac{1}{4}(ab + bc + ac)$

$S_2 = \frac{1}{4} \cdot [2(ab + bc + ac)]$

Выражение в квадратных скобках — это исходная площадь поверхности $S_1$. Таким образом, мы получаем связь между новой и старой площадями:

$S_2 = \frac{1}{4}S_1$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшилась площадь поверхности, найдем отношение исходной площади к новой:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_1}{\frac{1}{4}S_1} = 1 \div \frac{1}{4} = 1 \cdot 4 = 4$

Следовательно, площадь поверхности уменьшилась в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.