Номер 1.18, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.18. Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1.

Дано:

Правильная шестиугольная призма.
Длина всех ребер равна 1, следовательно:
Сторона основания: $a = 1$.
Высота призмы (боковое ребро): $h = 1$.

Найти:

Длины диагоналей призмы, $D$.

Решение:

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани. В правильной шестиугольной призме существует два типа таких диагоналей, различающихся по длине. Длина диагонали призмы ($D$) вычисляется по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота призмы ($h$) и соответствующая диагональ основания ($d$).

Формула для расчета: $D = \sqrt{d^2 + h^2}$.

Для начала необходимо найти длины диагоналей правильного шестиугольника, лежащего в основании призмы, со стороной $a=1$.

1. Нахождение короткой диагонали основания ($d_1$).
Короткая диагональ соединяет вершины через одну (например, A и C). Она является основанием равнобедренного треугольника $ABC$, где стороны $AB = BC = 1$, а угол между ними $\angle ABC$ равен внутреннему углу правильного шестиугольника, то есть $120^\circ$.
По теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
Следовательно, длина короткой диагонали основания: $d_1 = \sqrt{3}$.

2. Нахождение большой диагонали основания ($d_2$).
Большая диагональ соединяет противоположные вершины (например, A и D). Её длина равна удвоенной стороне основания:
$d_2 = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь, зная длины диагоналей основания ($d_1 = \sqrt{3}$ и $d_2 = 2$) и высоту призмы ($h=1$), можно вычислить длины диагоналей самой призмы.

3. Длина диагонали призмы, опирающейся на короткую диагональ основания ($D_1$).
$D_1 = \sqrt{d_1^2 + h^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

4. Длина диагонали призмы, опирающейся на большую диагональ основания ($D_2$).
$D_2 = \sqrt{d_2^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Таким образом, данная призма имеет диагонали двух различных длин.

Ответ: диагонали правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1, имеют длины $2$ и $\sqrt{5}$.