Номер 1.21, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.21. Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.16.

б) Рис. 1.16

a)

Дано:

Фигура, составленная из прямоугольных параллелепипедов, с размерами, указанными на рисунке. Фигуру можно представить как два соединённых прямоугольных параллелепипеда. Первый, высокий, с размерами $1 \times 2 \times 2$ (ширина $\times$ глубина $\times$ высота). Второй, низкий, с размерами $1 \times 2 \times 1$.

Найти:

Площадь поверхности детали $S_a$.

Решение:

Для нахождения площади поверхности всей детали сложим площади поверхностей составляющих её параллелепипедов и вычтем удвоенную площадь их соприкосновения, так как эта область не является внешней поверхностью.

Площадь поверхности первого (высокого) параллелепипеда с рёбрами 1, 2, 2 равна:

$S_1 = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2 \cdot (2 + 2 + 4) = 2 \cdot 8 = 16$.

Площадь поверхности второго (низкого) параллелепипеда с рёбрами 1, 2, 1 равна:

$S_2 = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2 \cdot (2 + 1 + 2) = 2 \cdot 5 = 10$.

Параллелепипеды соприкасаются по грани с размерами $1 \times 2$. Площадь соприкосновения:

$S_{конт} = 1 \cdot 2 = 2$.

Общая площадь поверхности детали равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$ минус удвоенная площадь соприкосновения:

$S_a = S_1 + S_2 - 2 \cdot S_{конт} = 16 + 10 - 2 \cdot 2 = 26 - 4 = 22$.

Ответ: $22$.

б)

Дано:

Фигура, составленная из прямоугольных параллелепипедов, с размерами, указанными на рисунке. Фигуру можно представить как три соединённых прямоугольных параллелепипеда: левый с размерами $1 \times 2 \times 1$ (ширина $\times$ глубина $\times$ высота), центральный с размерами $1 \times 2 \times 2$ и правый с размерами $1 \times 2 \times 1$.

Найти:

Площадь поверхности детали $S_б$.

Решение:

Сложим площади поверхностей трёх составляющих параллелепипедов и вычтем удвоенные площади их соприкосновения.

Площадь поверхности левого блока ($1 \times 2 \times 1$):

$S_{лев} = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2 \cdot (2 + 1 + 2) = 10$.

Площадь поверхности центрального блока ($1 \times 2 \times 2$):

$S_{центр} = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2 \cdot (2 + 2 + 4) = 16$.

Площадь поверхности правого блока ($1 \times 2 \times 1$):

$S_{прав} = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2 \cdot (2 + 1 + 2) = 10$.

Левый и центральный блоки соприкасаются по грани $1 \times 2$. Площадь соприкосновения $S_{конт1} = 1 \cdot 2 = 2$.

Правый и центральный блоки соприкасаются по грани $1 \times 2$. Площадь соприкосновения $S_{конт2} = 1 \cdot 2 = 2$.

Общая площадь поверхности детали:

$S_б = S_{лев} + S_{центр} + S_{прав} - 2 \cdot S_{конт1} - 2 \cdot S_{конт2}$

$S_б = 10 + 16 + 10 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 36 - 4 - 4 = 28$.

Ответ: $28$.