Номер 1.22, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.22. Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямо-угольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.17.

а)

б)

Рис. 1.17

a)

Дано:

Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов, с габаритами:
Общая ширина: $3$ ед.
Общая глубина: $4$ ед.
Общая высота: $4$ ед.
Параметры прямоугольного выреза, проходящего сквозь деталь:
Ширина выреза: $1$ ед.
Высота выреза: $2$ ед.
Глубина выреза: $4$ ед.

Найти:

Площадь поверхности детали $S_a$.

Решение:

Площадь поверхности детали можно вычислить как сумму площадей всех ее внешних и внутренних граней.

1. Площадь передней и задней граней. Каждая из этих граней имеет U-образную форму. Ее площадь можно рассчитать как площадь большого прямоугольника за вычетом площади вырезанного прямоугольника.
$S_{передняя} = S_{задняя} = (3 \times 4) - (1 \times 2) = 12 - 2 = 10$ ед.².
Суммарная площадь передней и задней граней: $2 \times 10 = 20$ ед.².

2. Площадь внешних боковых граней (левой и правой). Это два одинаковых прямоугольника.
$S_{боковые\_внешние} = 2 \times (4 \times 4) = 2 \times 16 = 32$ ед.².

3. Площадь нижней грани. Это прямоугольник.
$S_{нижняя} = 3 \times 4 = 12$ ед.².

4. Площадь верхних граней. Это две прямоугольные полосы по бокам от выреза.
$S_{верхние} = 2 \times (1 \times 4) = 8$ ед.².

5. Площадь внутренних граней (поверхности выреза). Состоит из двух вертикальных стенок и дна выреза.
$S_{внутренние} = 2 \times (\text{высота выреза} \times \text{глубина}) + (\text{ширина выреза} \times \text{глубина})$
$S_{внутренние} = 2 \times (2 \times 4) + (1 \times 4) = 16 + 4 = 20$ ед.².

6. Общая площадь поверхности - это сумма площадей всех найденных частей.
$S_a = (S_{передняя} + S_{задняя}) + S_{боковые\_внешние} + S_{нижняя} + S_{верхние} + S_{внутренние}$
$S_a = 20 + 32 + 12 + 8 + 20 = 92$ ед.².

Ответ: $92$ ед.².

б)

Дано:

Деталь в форме куба со сквозным квадратным отверстием по центру.
Внешние размеры детали (куб): ребро $a = 4$ ед.
Размеры квадратного отверстия: сторона сечения $b = 2$ ед., глубина (высота куба) $h = 4$ ед.

Найти:

Площадь поверхности детали $S_б$.

Решение:

Площадь поверхности детали складывается из площади внешней поверхности и площади внутренней поверхности (стенок отверстия).

1. Площадь внешней поверхности. Она состоит из четырех боковых граней и двух оснований (верхнего и нижнего) с вырезанными в них отверстиями.
Площадь четырех боковых граней: $S_{боковые\_внешние} = 4 \times (4 \times 4) = 64$ ед.².
Площадь верхнего основания (квадрат с квадратным отверстием): $S_{основание} = (4 \times 4) - (2 \times 2) = 16 - 4 = 12$ ед.².
Площадь нижнего основания такая же: $12$ ед.².
Общая площадь внешней поверхности: $S_{внешняя} = 64 + 12 + 12 = 88$ ед.².

2. Площадь внутренней поверхности. Это площадь четырех стенок отверстия. Каждая стенка - прямоугольник.
$S_{внутренняя} = 4 \times (2 \times 4) = 4 \times 8 = 32$ ед.².

3. Общая площадь поверхности детали.
$S_б = S_{внешняя} + S_{внутренняя} = 88 + 32 = 120$ ед.².

Альтернативный способ решения:
Можно найти площадь поверхности исходного сплошного куба, вычесть площадь вырезанных частей (отверстия на верхней и нижней гранях) и добавить площадь образовавшихся внутренних стенок.
Площадь поверхности исходного куба: $S_{куб} = 6 \times a^2 = 6 \times 4^2 = 96$ ед.².
Площадь вырезанных отверстий на верхней и нижней гранях: $S_{вырезано} = 2 \times b^2 = 2 \times 2^2 = 8$ ед.².
Площадь добавленной внутренней поверхности: $S_{добавлено} = 4 \times (b \times h) = 4 \times (2 \times 4) = 32$ ед.².
Итоговая площадь: $S_б = S_{куб} - S_{вырезано} + S_{добавлено} = 96 - 8 + 32 = 120$ ед.².

Ответ: $120$ ед.².