Номер 1.25, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.25. Чему равна площадь поверхности детали в форме пространственного креста (рис. 1.20), если ребра образующих его кубов равны единице?

Рис. 1.20

Дано:

Деталь в форме пространственного креста, составленная из кубов.

Длина ребра куба: $a = 1$

Найти:

Площадь поверхности детали $S$.

Решение:

Пространственный крест представляет собой фигуру, состоящую из одного центрального куба и шести кубов, примыкающих к каждой из его шести граней. Таким образом, деталь состоит из 7 одинаковых кубов.

Площадь поверхности можно найти несколькими способами.

Способ 1: Подсчет видимых граней.

Площадь одной грани куба с ребром $a=1$ равна $S_{грани} = a^2 = 1^2 = 1$ квадратной единице.

Центральный куб полностью скрыт другими кубами, поэтому ни одна из его граней не входит в общую поверхность детали.

Каждый из шести внешних кубов примыкает к центральному только одной своей гранью. Следовательно, у каждого из этих шести кубов 5 граней являются внешними (образуют поверхность детали), а одна грань — внутренняя.

Общее количество внешних граней равно:

$N = 6 \text{ кубов} \times 5 \text{ граней/куб} = 30$ граней.

Тогда общая площадь поверхности детали равна произведению количества внешних граней на площадь одной грани:

$S = N \times S_{грани} = 30 \times 1 = 30$ квадратных единиц.

Способ 2: Вычитание площади скрытых поверхностей.

Площадь поверхности одного отдельно взятого куба равна $S_{куба} = 6a^2 = 6 \times 1^2 = 6$.

Если бы все 7 кубов были разделены, их суммарная площадь поверхности составила бы:

$S_{общая} = 7 \times S_{куба} = 7 \times 6 = 42$ квадратные единицы.

При соединении кубов часть их поверхностей становится внутренней. Всего в фигуре 6 мест соединения (центральный куб соприкасается с шестью внешними). Каждое соединение скрывает две грани (одну на центральном кубе и одну на внешнем).

Количество скрытых граней равно $6 \times 2 = 12$.

Площадь скрытой поверхности равна:

$S_{скрытая} = 12 \times S_{грани} = 12 \times 1 = 12$ квадратных единиц.

Площадь поверхности детали равна разности суммарной площади всех кубов и площади скрытой поверхности:

$S = S_{общая} - S_{скрытая} = 42 - 12 = 30$ квадратных единиц.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $30$ квадратных единиц.