Номер 1.29, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.29. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба (рис. 1.24) из одной его вершины в противоположащую вершину.

Рис. 1.24

Дано:

Единичный куб, то есть куб с длиной ребра $a = 1$.

Найти:

Длину кратчайшего пути $L$ по поверхности куба из одной его вершины в противолежащую.

Решение:

Кратчайший путь между двумя точками на поверхности многогранника соответствует прямой линии на его развёртке. Пусть нам нужно найти кратчайший путь по поверхности куба между противолежащими вершинами, например, между вершиной $A$ и вершиной $C_1$ (см. рис. 1.24 в условии).

Чтобы соединить вершины $A$ и $C_1$, путь должен пройти по двум смежным граням куба. Рассмотрим развёртку, состоящую из двух таких граней, например, передней грани $ABB_1A_1$ и верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Развернём эти две грани в одну плоскость так, чтобы они соприкасались по общему ребру $A_1B_1$.

В результате мы получим плоский прямоугольник, состоящий из двух единичных квадратов. Стороны этого прямоугольника будут равны $a$ и $2a$. Поскольку куб единичный, то стороны прямоугольника равны $1$ и $1 + 1 = 2$.

Вершины $A$ и $C_1$ на этой развёртке окажутся в противоположных углах полученного прямоугольника со сторонами 1 и 2. Кратчайший путь между ними — это диагональ этого прямоугольника.

Длину этой диагонали $L$ можно найти по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, катетами которого являются стороны прямоугольника:

$L^2 = 1^2 + 2^2$

$L^2 = 1 + 4 = 5$

$L = \sqrt{5}$

В силу симметрии куба, выбор любой другой пары смежных граней для развёртки приведёт к аналогичному результату.

Ответ: Длина кратчайшего пути равна $\sqrt{5}$.