Номер 1.33, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.33. Докажите, что если гранями многогранника являются только треугольники, то утроенное число граней равно удвоенному числу ребер ($3F = 2E$). Сколько граней у такого многогранника, если число ребер равно 6? Приведите пример такого многогранника.

Докажите, что если гранями многогранника являются только треугольники, то утроенное число граней равно удвоенному числу ребер.

Решение:

Обозначим число граней многогранника буквой $Г$, а число его ребер — буквой $Р$.

По условию задачи, все грани многогранника являются треугольниками. Каждый треугольник имеет 3 стороны (ребра).

Если мы подсчитаем общее количество ребер, принадлежащих всем граням, путем умножения числа граней на 3, мы получим величину $3 \times Г$.

В любом многограннике каждое ребро является общим для двух смежных граней. Это означает, что при предыдущем подсчете каждое ребро было учтено ровно два раза.

Следовательно, удвоенное число ребер многогранника, $2 \times Р$, равно общему числу сторон всех его граней, $3 \times Г$.

Отсюда мы получаем искомое соотношение: $3Г = 2Р$.

Ответ: Соотношение $3Г = 2Р$ доказано.

Сколько граней у такого многогранника, если число ребер равно 6?

Дано:

Тип граней — треугольники.

Число ребер $Р = 6$.

Найти:

Число граней $Г$.

Решение:

Воспользуемся доказанной в предыдущем пункте формулой $3Г = 2Р$.

Подставим известное значение числа ребер $Р = 6$ в данную формулу:

$3Г = 2 \times 6$

$3Г = 12$

$Г = \frac{12}{3}$

$Г = 4$

Ответ: У такого многогранника 4 грани.

Приведите пример такого многогранника.

Решение:

Многогранник, у которого все грани — треугольники, число граней равно 4, а число ребер равно 6, — это тетраэдр.

Тетраэдр (также известный как треугольная пирамида) имеет:

- 4 треугольные грани;

- 6 ребер;

- 4 вершины.

Он полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Пример такого многогранника — тетраэдр.