Номер 1.35, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.35. Докажите, что если из каждой вершины многогранника выходит три ребра, то утроенное число вершин равно удвоенному числу ребер. Сколько вершин у такого многогранника, если число ребер равно 15? Приведите пример такого многогранника.

Докажите, что если из каждой вершины многогранника выходит три ребра, то утроенное число вершин равно удвоенному числу ребер.

Решение:
Пусть $В$ — число вершин многогранника, а $Р$ — число его ребер.
По условию, из каждой вершины многогранника выходит ровно три ребра. Это означает, что степень каждой вершины равна 3.
Рассмотрим, как связаны вершины и ребра. Каждое ребро соединяет ровно две вершины, то есть имеет два конца.
Если мы посчитаем общее количество "концов" ребер, исходя из вершин, то, поскольку из каждой из $В$ вершин выходит 3 ребра, общее число концов составит $3 \cdot В$.
С другой стороны, это же общее количество концов ребер можно посчитать, исходя из самих ребер. Каждое из $Р$ ребер имеет два конца, поэтому общее число концов равно $2 \cdot Р$.
Поскольку оба способа подсчитывают одну и ту же величину (общую сумму степеней вершин, или общее число "концов" ребер), мы можем приравнять полученные выражения:
$3 \cdot В = 2 \cdot Р$
Это соотношение, известное как лемма о рукопожатиях для 3-регулярных графов, доказывает, что утроенное число вершин ($3В$) равно удвоенному числу ребер ($2Р$).
Ответ: Соотношение $3В = 2Р$ доказано.

Сколько вершин у такого многогранника, если число ребер равно 15?

Дано:

Число ребер $Р = 15$
Из каждой вершины выходит 3 ребра.

Найти:

Число вершин $В$

Решение:
Используем доказанную в предыдущем пункте формулу, связывающую число вершин и ребер для многогранника, у которого из каждой вершины выходит три ребра:
$3 \cdot В = 2 \cdot Р$
Подставим в формулу известное значение числа ребер $Р = 15$:
$3 \cdot В = 2 \cdot 15$
$3 \cdot В = 30$
Чтобы найти число вершин $В$, разделим обе части уравнения на 3:
$В = \frac{30}{3}$
$В = 10$
Следовательно, у такого многогранника 10 вершин.
Ответ: 10 вершин.

Приведите пример такого многогранника.

Решение:
Требуется найти пример многогранника, у которого 10 вершин ($В=10$) и 15 ребер ($Р=15$), и из каждой вершины выходит ровно 3 ребра.
Примером такого многогранника является пятиугольная призма.
Проверим ее характеристики:
1. Вершины: Пятиугольная призма имеет два основания в виде пятиугольников. Каждое основание имеет 5 вершин. Всего вершин: $5 + 5 = 10$. ($В=10$)
2. Ребра: Каждое из двух пятиугольных оснований имеет по 5 ребер. Кроме того, 5 боковых ребер соединяют соответствующие вершины оснований. Всего ребер: $5 + 5 + 5 = 15$. ($Р=15$)
3. Степень вершин: Каждая вершина призмы принадлежит одному из оснований. В каждой вершине сходятся два ребра, принадлежащих основанию, и одно боковое ребро, соединяющее основания. Таким образом, из каждой вершины выходит ровно 3 ребра.
Все условия задачи выполняются.
Для дополнительной проверки можно использовать теорему Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $Г$ — число граней. У пятиугольной призмы 2 основания (пятиугольники) и 5 боковых граней (четырехугольники), итого $Г = 2 + 5 = 7$ граней. Подставляем: $10 - 15 + 7 = -5 + 7 = 2$. Теорема выполняется, что подтверждает корректность примера.
Ответ: Пятиугольная призма.