Номер 1.31, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.31. Всегда ли объединение выпуклых фигур является выпуклой фигурой?

Решение

Для ответа на этот вопрос сначала вспомним определение выпуклой фигуры. Фигура называется выпуклой, если для любых двух точек, принадлежащих этой фигуре, отрезок, соединяющий эти точки, также полностью принадлежит этой фигуре.

Утверждение о том, что объединение выпуклых фигур всегда является выпуклой фигурой, является неверным. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим две выпуклые фигуры, $F_1$ и $F_2$, которые являются двумя непересекающимися кругами на плоскости. Например, пусть $F_1$ — это круг с центром в точке $O_1(-2, 0)$ и радиусом $R=1$, а $F_2$ — круг с центром в точке $O_2(2, 0)$ и радиусом $R=1$. Оба круга являются выпуклыми фигурами.

Рассмотрим их объединение $F = F_1 \cup F_2$. Возьмем точку $A$ из фигуры $F_1$, например, ее центр $A(-2, 0)$, и точку $B$ из фигуры $F_2$, например, ее центр $B(2, 0)$. Обе точки, $A$ и $B$, по определению принадлежат объединению $F$.

Теперь рассмотрим отрезок $AB$, соединяющий эти точки. Возьмем точку $C$, которая является серединой этого отрезка — начало координат $C(0, 0)$. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$.

Проверим, принадлежит ли точка $C$ объединению $F$. Для этого она должна принадлежать хотя бы одной из фигур: $F_1$ или $F_2$.

Расстояние от точки $C(0, 0)$ до центра круга $F_1$ ($O_1(-2, 0)$) равно $\sqrt{(-2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$. Это расстояние больше радиуса круга ($R=1$), следовательно, точка $C$ не принадлежит кругу $F_1$.

Расстояние от точки $C(0, 0)$ до центра круга $F_2$ ($O_2(2, 0)$) равно $\sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$. Это расстояние также больше радиуса круга ($R=1$), следовательно, точка $C$ не принадлежит кругу $F_2$.

Поскольку точка $C$ не принадлежит ни $F_1$, ни $F_2$, она не принадлежит и их объединению $F$. Таким образом, мы нашли две точки $A$ и $B$ в фигуре $F$, отрезок между которыми ($AB$) не полностью содержится в $F$. Это противоречит определению выпуклой фигуры.

Следовательно, объединение двух выпуклых фигур в общем случае не является выпуклой фигурой.

Ответ: Нет, не всегда.