Номер 1.24, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.24. Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.19.

а)

б)

Рис. 1.19

а)

Дано:

Фигура а) представляет собой тело, полученное путем "выдавливания" П-образной фигуры. Размеры основания и высота призмы:
Общая ширина основания = 3 ед.
Общая высота основания = 2 ед.
Ширина выреза = 1 ед.
Высота выреза = 1 ед.
Глубина (длина призмы) = 2 ед.
(Все данные в условных единицах, перевод в систему СИ не требуется)

Найти:

Площадь поверхности детали а), $S_a$.

Решение:

Площадь поверхности такой призмы можно найти как сумму площадей двух оснований (передней и задней П-образных граней) и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности, в свою очередь, равна произведению периметра основания на глубину детали.

1. Найдем площадь П-образного основания (поперечного сечения). Она равна площади внешнего прямоугольника за вычетом площади вырезанного прямоугольника.

$A_{сечения} = (3 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 6 - 1 = 5$ кв. ед.

2. Найдем периметр П-образного основания. Он складывается из длин всех отрезков, образующих его контур:

$P_{сечения} = 3_{ниж} + 2_{лев} + 1_{верх.лев} + 1_{внутр.лев} + 1_{дно.выреза} + 1_{внутр.прав} + 1_{верх.прав} + 2_{прав} = 12$ ед.

Альтернативный подсчет периметра: $(3+2) \cdot 2$ (периметр внешнего прямоугольника) $+ 2 \cdot 1$ (добавляются две внутренние вертикальные стенки) $= 10 + 2 = 12$ ед.

3. Глубина детали (длина призмы) $L = 2$ ед.

4. Вычислим полную площадь поверхности по формуле $S = 2 \cdot A_{сечения} + P_{сечения} \cdot L$.

$S_a = 2 \cdot 5 + 12 \cdot 2 = 10 + 24 = 34$ кв. ед.

Ответ: 34 кв. ед.

б)

Дано:

Фигура б) представляет собой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан меньший прямоугольный параллелепипед (куб).
Размеры большого параллелепипеда (описывающего ящика):
Ширина $W = 3$ ед.
Глубина $D = 2$ ед.
Высота $H = 2$ ед.
Размеры вырезанного куба:
Сторона $a = 1$ ед.
(Все данные в условных единицах, перевод в систему СИ не требуется)

Найти:

Площадь поверхности детали б), $S_b$.

Решение:

Площадь поверхности детали можно найти, вычислив площадь поверхности исходного большого параллелепипеда и скорректировав ее с учетом вырезанного куба. Этот метод называется методом "описывающего ящика".

1. Найдем площадь поверхности большого параллелепипеда с размерами $3 \times 2 \times 2$.

$S_{ящика} = 2(WD + WH + DH) = 2(3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2(6 + 6 + 4) = 2 \cdot 16 = 32$ кв. ед.

2. Проанализируем, как изменилась площадь поверхности при вырезании куба $1 \times 1 \times 1$ из переднего верхнего ребра.

При вырезании куба, две его грани, которые находились на поверхности большого параллелепипеда (передняя и верхняя), удаляются. Вместо них появляются четыре новые грани (задняя, нижняя, левая и правая грани куба), которые ранее находились внутри.

Площадь удаленной поверхности: $S_{удал} = S_{передняя.грань.куба} + S_{верхняя.грань.куба} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) = 2$ кв. ед.

Площадь добавленной поверхности: $S_{доб} = S_{задняя} + S_{нижняя} + S_{левая} + S_{правая} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) = 4$ кв. ед.

3. Общее изменение площади поверхности равно: $\Delta S = S_{доб} - S_{удал} = 4 - 2 = 2$ кв. ед.

4. Итоговая площадь поверхности детали:

$S_b = S_{ящика} + \Delta S = 32 + 2 = 34$ кв. ед.

Ответ: 34 кв. ед.