Номер 1.23, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.23. Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.18.

а)

б)

Рис. 1.18

а)

Дано:
Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов, с вырезом.
Габаритная длина: $l = 3$ ед.
Габаритная ширина (глубина): $w = 2$ ед.
Габаритная высота: $h = 2$ ед.
Ширина боковых частей: $l_{бок} = 1$ ед.
Ширина выреза: $w_{выр} = 1$ ед.
Высота выреза: $h_{выр} = 1$ ед.

Найти:

Площадь полной поверхности детали $S_a$.

Решение:

Для нахождения площади поверхности детали разобьем ее на три прямоугольных параллелепипеда: два одинаковых боковых (левый и правый) и один центральный нижний.

1. Размеры боковых параллелепипедов (левого $P_Л$ и правого $P_П$):
Длина (ширина на рисунке): $l_1 = 1$ ед.
Ширина (глубина на рисунке): $w_1 = 2$ ед.
Высота: $h_1 = 2$ ед.

2. Размеры центрального нижнего параллелепипеда ($P_Ц$):
Длина (ширина выреза): $l_2 = 1$ ед.
Ширина (глубина на рисунке): $w_2 = 2$ ед.
Высота: $h_2 = h - h_{выр} = 2 - 1 = 1$ ед.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a, b, c$ вычисляется по формуле: $S = 2(ab + ac + bc)$.

3. Вычислим площади поверхностей каждого из трех параллелепипедов:
Площадь поверхности бокового параллелепипеда:
$S_Л = S_П = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2(2 + 2 + 4) = 2 \cdot 8 = 16$ кв. ед.

Площадь поверхности центрального параллелепипеда:
$S_Ц = 2(1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 2(2 + 1 + 2) = 2 \cdot 5 = 10$ кв. ед.

4. Найдем площадь полной поверхности детали.
При соединении параллелепипедов часть их поверхностей становится внутренней и не учитывается в общей площади. Эти поверхности (площади контакта) нужно вычесть. Боковые параллелепипеды соприкасаются с центральным по вертикальным граням.

Площадь одной грани соприкосновения (между левым и центральным, а также правым и центральным) равна произведению глубины на высоту центрального блока: $S_{конт} = w_2 \cdot h_2 = 2 \cdot 1 = 2$ кв. ед.

Поскольку таких соприкосновений два, и в каждом случае мы должны исключить площади с обеих сторон, общая вычитаемая площадь равна $2 \cdot S_{конт} + 2 \cdot S_{конт} = 4 \cdot S_{конт}$. Однако, формула проще: $S_{общ} = S_Л + S_П + S_Ц - 2 \cdot S_{конт1} - 2 \cdot S_{конт2}$.

$S_a = S_Л + S_П + S_Ц - 2 \cdot S_{конт} - 2 \cdot S_{конт} = 16 + 16 + 10 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 42 - 4 - 4 = 34$ кв. ед.

Ответ: $S_a = 34$ кв. ед.

б)

Дано:
Деталь, составленная из двух прямоугольных параллелепипедов.
Габаритные размеры: $2 \times 2 \times 2$ ед.
Задний блок ($P_З$): длина $l_1 = 2$, ширина $w_1=1$, высота $h_1=2$.
Передний блок ($P_П$): длина $l_2 = 2$, ширина $w_2=1$, высота $h_2=1$.

Найти:

Площадь полной поверхности детали $S_б$.

Решение:

Представим деталь как комбинацию двух прямоугольных параллелепипедов: заднего высокого блока и переднего низкого блока.

1. Размеры заднего блока ($P_З$): $2 \times 1 \times 2$.
Размеры переднего блока ($P_П$): $2 \times 1 \times 1$.

2. Вычислим площади поверхностей каждого блока:
Площадь поверхности заднего блока:
$S_З = 2(2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = 2(2 + 4 + 2) = 2 \cdot 8 = 16$ кв. ед.

Площадь поверхности переднего блока:
$S_П = 2(2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 2(2 + 2 + 1) = 2 \cdot 5 = 10$ кв. ед.

3. Найдем площадь полной поверхности детали.
Блоки соприкасаются по вертикальной грани. Площадь этой грани (площадь контакта) нужно вычесть из суммы площадей поверхностей блоков, причем дважды (по одной грани от каждого блока).

Размеры грани соприкосновения определяются длиной блоков и высотой переднего (более низкого) блока: $l_2 \times h_2 = 2 \times 1$.
$S_{конт} = 2 \cdot 1 = 2$ кв. ед.

Общая площадь поверхности детали: $S_б = S_З + S_П - 2 \cdot S_{конт} = 16 + 10 - 2 \cdot 2 = 26 - 4 = 22$ кв. ед.

Ответ: $S_б = 22$ кв. ед.