Номер 1.28, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.28. В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см (рис. 1.23). Найдите площадь поверхности оставшейся части.

Рис. 1.23

Дано:

Ребро куба, $a = 6$ см

Сторона квадратного отверстия, $b = 2$ см

Найти:

Площадь поверхности оставшейся части, $S_{полн}$

Решение:

Полная площадь поверхности $S_{полн}$ оставшейся части складывается из площади внешней поверхности $S_{внешн}$ и площади внутренней поверхности $S_{внутр}$, которая образовалась в результате проделывания отверстий.

$S_{полн} = S_{внешн} + S_{внутр}$

1. Найдем площадь внешней поверхности. Она равна площади поверхности исходного куба за вычетом площадей шести квадратных отверстий на каждой грани.

Площадь поверхности исходного куба: $S_{куба} = 6a^2 = 6 \cdot (6 \text{ см})^2 = 6 \cdot 36 \text{ см}^2 = 216 \text{ см}^2$.

Площадь одного квадратного отверстия: $S_{отв} = b^2 = (2 \text{ см})^2 = 4 \text{ см}^2$.

Суммарная площадь шести вырезанных квадратов: $6 \cdot S_{отв} = 6 \cdot 4 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

Площадь внешней поверхности оставшейся части:

$S_{внешн} = S_{куба} - 6 \cdot S_{отв} = 216 \text{ см}^2 - 24 \text{ см}^2 = 192 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь внутренней поверхности. Сквозные отверстия, проделанные через три пары противоположных граней, образуют внутри куба три пересекающихся квадратных "туннеля". Объем, который они вырезают, представляет собой фигуру, состоящую из центрального куба со стороной $b=2$ см и шести таких же кубов, примыкающих к его граням. Всего эта фигура состоит из 7 кубиков со стороной 2 см.

Внутренняя поверхность, которую нам нужно найти, — это площадь поверхности этой фигуры.

Эта фигура состоит из центрального куба, все грани которого оказываются закрыты другими кубами, и шести внешних кубов. Каждый из шести внешних кубов имеет 5 открытых граней (площадью $b^2$ каждая) и одну грань, которой он примыкает к центральному кубу.

Площадь поверхности одного такого внешнего кубика: $5 \cdot b^2 = 5 \cdot (2 \text{ см})^2 = 5 \cdot 4 \text{ см}^2 = 20 \text{ см}^2$.

Так как таких кубиков шесть, общая площадь внутренней поверхности равна:

$S_{внутр} = 6 \cdot (5 \cdot b^2) = 6 \cdot 20 \text{ см}^2 = 120 \text{ см}^2$.

3. Найдем полную площадь поверхности оставшейся части, сложив внешнюю и внутреннюю площади.

$S_{полн} = S_{внешн} + S_{внутр} = 192 \text{ см}^2 + 120 \text{ см}^2 = 312 \text{ см}^2$.

Ответ: $312 \text{ см}^2$.