Номер 1.32, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.32. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Решение:

Для ответа на данный вопрос необходимо сперва определить понятия выпуклого многогранника и выпуклого многоугольника. Многогранник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. В противном случае многогранник является невыпуклым. Многоугольник является выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

В качестве примера невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками, рассмотрим следующую конструкцию.

Возьмём за основу выпуклый многогранник — куб. Все 6 его граней являются квадратами, а квадрат — это выпуклый многоугольник.

Теперь преобразуем куб. Выберем одну из его граней (например, верхнюю) и заменим её на "впадину", имеющую форму четырёхугольной пирамиды. Основание этой пирамиды будет совпадать с выбранной гранью куба, а вершина пирамиды будет находиться внутри куба (например, в его геометрическом центре).

Полученный в результате новый многогранник будет состоять из 9 граней: 5 граней исходного куба и 4 треугольные грани, образующие боковую поверхность "вдавленной" пирамиды. Формально, у него $5 + 4 = 9$ граней.

Проверим грани этого многогранника. 5 граней являются квадратами, а 4 грани — треугольниками. И квадраты, и треугольники являются выпуклыми многоугольниками. Таким образом, условие о выпуклости всех граней выполняется.

Теперь докажем, что сам многогранник невыпуклый. Из-за наличия "впадины" многогранник не будет лежать по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Например, если рассмотреть плоскость, содержащую одну из треугольных граней впадины, то часть многогранника (оставшаяся часть куба) окажется по одну сторону от этой плоскости, а другая часть (другие треугольные грани впадины) — по другую. Более наглядно, можно взять две точки $A$ и $B$ внутри многогранника, расположенные у двух противоположных ребер бывшей верхней грани куба. Отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$, может пройти над вершиной впадины, то есть выйти за пределы многогранника. Следовательно, этот многогранник не является выпуклым.

Ответ: Примером невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками, может служить куб, у которого одна из граней заменена на впадину в виде четырёхугольной пирамиды, основание которой совпадает с этой гранью, а вершина находится внутри куба.