Задания, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на длину апофемы, т.е. имеет место формула:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}(p + p_1)l$

где $p$ и $p_1$ — периметры оснований усеченной пирамиды, а $l$ — ее апофема.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Доказательство:

Рассмотрим правильную n-угольную усеченную пирамиду.

Боковая поверхность такой пирамиды состоит из n равных между собой равнобедренных трапеций. Площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей этих n трапеций.

Пусть длины сторон оснований (нижнего и верхнего) равны a и a₁ соответственно. Апофема l правильной усеченной пирамиды по определению является высотой ее боковой грани (трапеции).

Площадь одной боковой грани (трапеции) вычисляется по формуле площади трапеции:

$S_{грань} = \frac{1}{2}(a + a_1)l$

Поскольку все n боковых граней равны, то площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению числа граней на площадь одной грани:

$S_{бок} = n \cdot S_{грань} = n \cdot \frac{1}{2}(a + a_1)l$

Преобразуем это выражение, внеся множитель n в скобки:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(n \cdot a + n \cdot a_1)l$

Периметр нижнего основания, являющегося правильным n-угольником со стороной a, равен $p = n \cdot a$.

Периметр верхнего основания, являющегося правильным n-угольником со стороной a₁, равен $p_1 = n \cdot a_1$.

Теперь подставим выражения для периметров $p$ и $p_1$ в полученную формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(p + p_1)l$

Таким образом, мы доказали, что площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды действительно вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(p + p_1)l$, где $p$ и $p_1$ — периметры оснований, а $l$ — апофема.