Страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на длину апофемы, т.е. имеет место формула:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}(p + p_1)l$

где $p$ и $p_1$ — периметры оснований усеченной пирамиды, а $l$ — ее апофема.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Доказательство:

Рассмотрим правильную n-угольную усеченную пирамиду.

Боковая поверхность такой пирамиды состоит из n равных между собой равнобедренных трапеций. Площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей этих n трапеций.

Пусть длины сторон оснований (нижнего и верхнего) равны a и a₁ соответственно. Апофема l правильной усеченной пирамиды по определению является высотой ее боковой грани (трапеции).

Площадь одной боковой грани (трапеции) вычисляется по формуле площади трапеции:

$S_{грань} = \frac{1}{2}(a + a_1)l$

Поскольку все n боковых граней равны, то площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению числа граней на площадь одной грани:

$S_{бок} = n \cdot S_{грань} = n \cdot \frac{1}{2}(a + a_1)l$

Преобразуем это выражение, внеся множитель n в скобки:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(n \cdot a + n \cdot a_1)l$

Периметр нижнего основания, являющегося правильным n-угольником со стороной a, равен $p = n \cdot a$.

Периметр верхнего основания, являющегося правильным n-угольником со стороной a₁, равен $p_1 = n \cdot a_1$.

Теперь подставим выражения для периметров $p$ и $p_1$ в полученную формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(p + p_1)l$

Таким образом, мы доказали, что площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды действительно вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(p + p_1)l$, где $p$ и $p_1$ — периметры оснований, а $l$ — апофема.

Вопросы

1. Какой многогранник называется пирамидой?

2. Какая пирамида называется правильной?

3. Что называется высотой пирамиды?

4. Какой многогранник называется усеченной пирамидой?

5. Какая усеченная пирамида называется правильной?

6. Что называется высотой усеченной пирамиды?

7. Как находится площадь поверхности пирамиды?

8. Как находится площадь поверхности усеченной пирамиды?

1. Какой многогранник называется пирамидой? Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого — многоугольник (основание), а остальные грани — треугольники (боковые грани), имеющие общую вершину. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды.
Ответ: Пирамида — это многогранник, состоящий из многоугольника в основании, вершины, не лежащей в плоскости основания, и всех треугольников, соединяющих вершину со сторонами основания.

2. Какая пирамида называется правильной? Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника. Следствием этого является то, что все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Ответ: Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а её высота совпадает с отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром основания.

3. Что называется высотой пирамиды? Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания. Длина этого перпендикуляра также называется высотой.
Ответ: Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведённый из её вершины к плоскости основания.

4. Какой многогранник называется усеченной пирамидой? Усечённая пирамида — это многогранник, который образуется при пересечении пирамиды плоскостью, параллельной её основанию. Этот многогранник заключён между основанием исходной пирамиды и секущей плоскостью. У усечённой пирамиды есть два основания — нижнее (основание исходной пирамиды) и верхнее (сечение), которые являются подобными многоугольниками. Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции.
Ответ: Усечённой пирамидой называется многогранник, являющийся частью пирамиды, заключённой между её основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию.

5. Какая усеченная пирамида называется правильной? Усечённая пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды, отсечённой плоскостью, параллельной основанию. Основаниями такой пирамиды являются правильные многоугольники, а боковые грани — равные между собой равнобедренные трапеции.
Ответ: Правильной усечённой пирамидой называется усечённая пирамида, полученная из правильной пирамиды.

6. Что называется высотой усеченной пирамиды? Высотой усечённой пирамиды называется расстояние между плоскостями её верхнего и нижнего оснований. Это длина отрезка перпендикуляра, проведённого из любой точки одного основания к плоскости другого.
Ответ: Высотой усечённой пирамиды является расстояние между её основаниями.

7. Как находится площадь поверхности пирамиды? Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется как сумма площади её основания и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности — это сумма площадей всех её боковых граней. Для правильной пирамиды площадь боковой поверхности можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани).
Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды находится по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

8. Как находится площадь поверхности усеченной пирамиды? Площадь полной поверхности усечённой пирамиды вычисляется как сумма площадей её двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности — это сумма площадей всех её боковых граней (трапеций). Для правильной усечённой пирамиды площадь боковой поверхности можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема.
Ответ: Площадь полной поверхности усечённой пирамиды находится по формуле $S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$, где $S_{осн1}$ и $S_{осн2}$ — площади оснований, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

2.1. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиды, аналогичные данным на рисунке 2.5.

а)

б)

Рис. 2.5

а)

Для того чтобы нарисовать пирамиду, аналогичную изображенной на рисунке а), следует выполнить на бумаге в клетку следующие действия:

1. Построение вершин основания. Начнем с основания пирамиды. Выберем на листе произвольный узел сетки (пересечение линий) и обозначим его как левую переднюю вершину основания. От этой точки отсчитаем 4 клетки вправо и поставим вторую, правую переднюю вершину. Далее, от левой передней вершины отступим 1 клетку вправо и 1 клетку вверх, чтобы получить левую заднюю вершину. От правой передней вершины отступим 1 клетку вправо и 1 клетку вверх для получения правой задней вершины.

2. Изображение ребер основания. Соединим две передние вершины сплошной линией — это будет видимое переднее ребро основания. Также сплошной линией соединим правую переднюю и правую заднюю вершины — это видимое правое ребро. Левое заднее и правое заднее ребра, а также левое переднее и левое заднее ребра являются невидимыми, поэтому их следует изобразить пунктирными линиями.

3. Построение вершины пирамиды. Найдем точку, которая будет вершиной пирамиды. Для этого от левой передней вершины основания отсчитаем 2 клетки вправо и 4 клетки вверх.

4. Изображение боковых ребер. Соединим вершину пирамиды сплошными линиями с тремя видимыми вершинами основания (левой передней, правой передней и правой задней). Боковое ребро, идущее к левой задней вершине основания, является невидимым, поэтому его следует начертить пунктирной линией.

Ответ: Для построения пирамиды необходимо пошагово нанести на клетчатую бумагу вершины основания и вершину пирамиды, используя указанные смещения по клеткам. Затем соединить их, используя сплошные линии для видимых ребер и пунктирные — для невидимых.

б)

Для того чтобы нарисовать пирамиду, аналогичную изображенной на рисунке б), следует выполнить на бумаге в клетку следующие действия:

1. Построение вершин основания. Выберем произвольный узел сетки как левую переднюю вершину основания. От этой точки отсчитаем 5 клеток вправо, чтобы отметить правую переднюю вершину. Чтобы найти левую заднюю вершину, отступим от левой передней на 1 клетку вправо и 1 клетку вверх. Для нахождения правой задней вершины отступим от правой передней на 1 клетку влево и 1 клетку вверх.

2. Изображение ребер основания. Соединим передние вершины сплошной линией (видимое переднее ребро). Также соединим правую переднюю и правую заднюю вершины сплошной линией (видимое правое ребро). Заднее и левое ребра основания соединяем пунктирными линиями, так как они невидимы.

3. Построение вершины пирамиды. Вершина пирамиды находится на 3 клетки правее и на 5 клеток выше, чем левая передняя вершина основания.

4. Изображение боковых ребер. Соединим вершину пирамиды сплошными линиями с левой передней, правой передней и правой задней вершинами основания (видимые ребра). Ребро, идущее к левой задней вершине, изобразим пунктирной линией (невидимое ребро).

Ответ: Для построения пирамиды необходимо пошагово нанести на клетчатую бумагу вершины основания и вершину пирамиды, используя указанные смещения по клеткам. Затем соединить их, используя сплошные линии для видимых ребер и пунктирные — для невидимых.

2.2. На рисунке 2.6 укажите пирамиды.

а)

б)

в)

Рис. 2.6

Для того чтобы определить, какие из представленных фигур являются пирамидами, необходимо вспомнить определение пирамиды. Пирамида — это многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, является многоугольником, а все остальные грани, называемые боковыми, являются треугольниками с общей вершиной.

а) Фигура, изображенная под буквой а), имеет в основании многоугольник (пятиугольник). Все боковые грани этой фигуры — треугольники, которые сходятся в одной общей точке — вершине. Таким образом, эта фигура полностью соответствует определению пирамиды.
Ответ: Фигура а) является пирамидой.

б) Фигура под буквой б) состоит из двух пирамид, которые соединены своими основаниями (четырехугольником). Такой многогранник называется бипирамидой. У него нет одного основания и одной вершины, а есть общее основание для двух частей и две вершины. В строгом геометрическом смысле это не пирамида, а другой класс многогранников.
Ответ: Фигура б) не является пирамидой.

в) У фигуры под буквой в) в основании лежит треугольник, но у нее нет общей вершины для боковых граней. Вместо одной вершины у фигуры есть целое ребро сверху. Боковые грани этой фигуры — это не только треугольники, но и четырехугольники. Следовательно, эта фигура не является пирамидой. Такой многогранник называется клином.
Ответ: Фигура в) не является пирамидой.