Страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.3. Среди данных на рисунке 2.7 разверток найдите развертки пирамид. Выясните их вид.

а)

б)

в)

г)

Рис. 2.7

Для того чтобы определить, является ли фигура разверткой пирамиды, нужно проанализировать ее составные части и возможность сборки в объемное тело. Пирамида состоит из многоугольного основания и треугольных боковых граней, сходящихся в одной общей вершине (апексе).

а) На данном изображении мы видим развертку, состоящую из одного квадрата и четырех треугольников. Квадрат служит основанием пирамиды. Четыре треугольника являются ее боковыми гранями. При сгибании по сторонам квадрата все вершины треугольников сойдутся в одной точке, которая будет являться вершиной пирамиды. Поскольку основанием является четырехугольник (квадрат), то данная фигура является разверткой четырехугольной пирамиды.

б) Эта развертка состоит из трех прямоугольников и двух треугольников. При сборке такой фигуры прямоугольники образуют боковую поверхность, а два треугольника становятся основаниями. Такая геометрическая фигура называется призмой (в данном случае, треугольной призмой), а не пирамидой.

в) Данная развертка состоит из четырех треугольников, которые соединены таким образом, что имеют одну общую вершину. Эта общая вершина станет апексом пирамиды. Внешние стороны этих треугольников образуют контур основания. При сворачивании эти стороны сомкнутся, образуя четырехугольное основание. Таким образом, эта фигура также является разверткой четырехугольной пирамиды.

г) Эта развертка содержит в своем составе не только треугольники, но и две трапеции. Боковые грани пирамиды всегда являются треугольниками. Наличие трапеций в развертке боковой поверхности указывает на то, что это не является разверткой пирамиды. Такая фигура может быть разверткой усеченной пирамиды или другого, более сложного многогранника.

Ответ: Развертками пирамид являются фигуры, изображенные под буквами а) и в). Обе являются развертками четырехугольной пирамиды.

2.4. Разверткой какого многогранника может служить фигура, изображенная на рисунке 2.8?

Рис. 2.8

Решение:

Фигура, представленная на рисунке, является разверткой пространственного тела. Давайте проанализируем ее структуру.

В центре фигуры расположен правильный пятиугольник. К каждой стороне этого пятиугольника примыкает по одному равнобедренному треугольнику. Всего у нас есть одна пятиугольная грань и пять треугольных граней.

Чтобы собрать многогранник из этой развертки, мы можем мысленно согнуть фигуру по общим сторонам треугольников и пятиугольника. При этом пятиугольник станет основанием многогранника. Пять треугольников поднимутся вверх и сформируют боковую поверхность. Их вершины, не принадлежащие основанию, сойдутся в одной точке — вершине многогранника.

Многогранник, состоящий из многоугольного основания и треугольных боковых граней, сходящихся в одной общей вершине, называется пирамидой. Поскольку в основании данной фигуры лежит пятиугольник, то этот многогранник является пятиугольной пирамидой.

Ответ: Фигура, изображенная на рисунке, является разверткой пятиугольной пирамиды.

2.5. Нарисуйте развертку правильной четырех-хутольной пирамиды.

Решение

Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный четырехугольник (то есть квадрат), а вершина проецируется в центр этого квадрата. Следствием этого является то, что все боковые грани представляют собой равные между собой равнобедренные треугольники.

Развертка геометрического тела — это плоская фигура, которую можно согнуть по определенным линиям, чтобы получить это тело. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка состоит из ее основания и боковых граней.

Таким образом, развертка состоит из:

1. Одного квадрата — основания пирамиды.

2. Четырех одинаковых равнобедренных треугольников — боковых граней пирамиды.

Эти фигуры располагаются на плоскости так, что к каждой стороне квадрата примыкает основание одного из треугольников.

Ниже представлен схематический рисунок такой развертки.

Если согнуть эту плоскую фигуру по сторонам квадрата и соединить боковые стороны треугольников, то вершины всех треугольников сойдутся в одной точке, которая станет вершиной пирамиды.

Ответ: Развертка правильной четырехугольной пирамиды состоит из центрального квадрата, к каждой стороне которого присоединен равнобедренный треугольник. Пример такой развертки представлен на рисунке выше.

2.6. Найдите высоту правильной четыреху-гольной пирамиды, все ребра которой равны 1.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Длина ребра основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 1$.

Найти:

Высоту пирамиды $H$.

Решение:

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Обозначим сторону основания как $a$. Так как все ребра пирамиды равны 1, то сторона основания $a=1$, и боковое ребро $l=1$.

Высота пирамиды $H$ опускается из вершины в центр основания, который является точкой пересечения диагоналей квадрата. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а основание как $ABCD$. Тогда высота $SO=H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, образованный высотой пирамиды $SO = H$, боковым ребром $SA = l$ (которое является гипотенузой) и отрезком $OA$, соединяющим центр основания с вершиной (половиной диагонали основания $d/2$).

Сначала найдем длину диагонали $d$ квадрата в основании по теореме Пифагора для треугольника $ABC$:

$d^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Подставляем значение $a=1$:

$d^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$

$d = \sqrt{2}$

Отрезок $OA$ равен половине диагонали $d$:

$OA = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$H^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$

Подставим известные значения $l=1$ и $OA = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$H^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2$

$H^2 + \frac{2}{4} = 1$

$H^2 + \frac{1}{2} = 1$

$H^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$H^2 = \frac{1}{2}$

$H = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2.7. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер равна 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

Площадь поверхности пирамиды $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат $ABCD$. По условию, сторона основания $a = AB = 1$.

Площадь квадрата вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$

2. Найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырех равных треугольников, так как пирамида правильная. Рассмотрим одну из боковых граней, например, треугольник $SAB$.

По условию, все ребра пирамиды равны 1. Значит, стороны треугольника $SAB$ равны: $SA = 1$, $SB = 1$ и $AB = 1$. Следовательно, треугольник $SAB$ является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим в формулу значение стороны $a = 1$:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех таких равных треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SAB} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

3. Теперь вычислим площадь полной поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 1 + \sqrt{3}$

Ответ: $1 + \sqrt{3}$.