Страница 29 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3.12. Существует ли выпуклый четырехгранный угол, имеющий
двугранные углы равные $90^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой о сумме двугранных углов выпуклого многогранного угла.

Теорема утверждает, что сумма всех двугранных углов выпуклого n-гранного угла всегда строго больше, чем $180^\circ \cdot (n-2)$.

В условии задачи рассматривается выпуклый четырехгранный угол, следовательно, для него $n=4$.

Согласно теореме, сумма его двугранных углов $S$ должна удовлетворять неравенству:

$S > 180^\circ \cdot (4-2)$

$S > 180^\circ \cdot 2$

$S > 360^\circ$

Теперь вычислим сумму двугранных углов, заданных в условии. Все четыре двугранных угла равны $90^\circ$.

$S = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

Сравним полученную сумму с требованием теоремы. Мы получили, что $S = 360^\circ$, однако для существования такого угла необходимо, чтобы выполнялось строгое неравенство $S > 360^\circ$. Поскольку $360^\circ$ не больше $360^\circ$, условие теоремы не выполняется.

Таким образом, выпуклый четырехгранный угол с четырьмя двугранными углами по $90^\circ$ существовать не может. Интуитивно это можно представить так, что грани, образующие такие углы, "разворачиваются" в одну плоскость и не могут сойтись в одной вершине, чтобы образовать объемную фигуру выпуклого многогранного угла.

Ответ: Нет, такой выпуклый четырехгранный угол не существует.

3.13. Проверьте, что для числа вершин (В), ребер (Р) и граней (Г):

а) параллелепипеда;

б) призмы;

в) пирамиды выполняется равенство

$B - P + \Gamma = 2$

Данная задача заключается в проверке справедливости соотношения Эйлера для выпуклых многогранников, которое утверждает, что для любого такого многогранника выполняется равенство $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, а $Г$ — число граней.

а) параллелепипеда

Рассмотрим любой параллелепипед. У него есть два основания (верхнее и нижнее) и боковые грани. Подсчитаем количество его элементов:

Число вершин ($В$): У параллелепипеда 4 вершины на нижнем основании и 4 вершины на верхнем. Итого: $В = 4 + 4 = 8$.

Число ребер ($Р$): 4 ребра принадлежат нижнему основанию, 4 ребра — верхнему, и еще 4 боковых ребра соединяют соответствующие вершины оснований. Итого: $Р = 4 + 4 + 4 = 12$.

Число граней ($Г$): 2 грани являются основаниями и 4 грани — боковыми. Итого: $Г = 2 + 4 = 6$.

Подставим найденные значения в проверяемое равенство:

$В - Р + Г = 8 - 12 + 6 = 2$.

Равенство выполняется.

Ответ: для параллелепипеда равенство $В - Р + Г = 2$ выполняется.

б) призмы

Рассмотрим общую $n$-угольную призму, в основании которой лежит многоугольник с $n$ вершинами (где $n \ge 3$).

Число вершин ($В$): У призмы два $n$-угольных основания, на каждом из которых по $n$ вершин. Итого: $В = 2n$.

Число ребер ($Р$): На каждом из двух оснований по $n$ ребер, и еще $n$ боковых ребер. Итого: $Р = n + n + n = 3n$.

Число граней ($Г$): 2 основания и $n$ боковых граней (являющихся четырехугольниками). Итого: $Г = n + 2$.

Подставим полученные выражения в формулу Эйлера:

$В - Р + Г = (2n) - (3n) + (n + 2) = 2n - 3n + n + 2 = 2$.

Равенство выполняется для любой призмы.

Ответ: для любой призмы равенство $В - Р + Г = 2$ выполняется.

в) пирамиды

Рассмотрим общую $n$-угольную пирамиду, в основании которой лежит многоугольник с $n$ вершинами (где $n \ge 3$).

Число вершин ($В$): У пирамиды $n$ вершин в основании и 1 вершина сверху (апекс). Итого: $В = n + 1$.

Число ребер ($Р$): В основании $n$ ребер, и еще $n$ боковых ребер, идущих от вершин основания к апексу. Итого: $Р = n + n = 2n$.

Число граней ($Г$): 1 основание и $n$ боковых граней (являющихся треугольниками). Итого: $Г = n + 1$.

Подставим эти выражения в формулу:

$В - Р + Г = (n + 1) - (2n) + (n + 1) = n + 1 - 2n + n + 1 = 2$.

Равенство выполняется для любой пирамиды.

Ответ: для любой пирамиды равенство $В - Р + Г = 2$ выполняется.