Страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.18. Пирамида Хеопса в Египте — правильная четырехугольная пирамида, высота которой около 140 м, а площадь основания 5,3 га (рис. 2.13). Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Рис. 2.13

Дано:

Пирамида Хеопса — правильная четырехугольная пирамида.

Высота, $H \approx 140$ м.

Площадь основания, $S_{осн} = 5,3$ га.

$1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$
$S_{осн} = 5,3 \times 10000 \text{ м}^2 = 53000 \text{ м}^2$

Найти:

Площадь боковой поверхности, $S_{бок}$.

Решение:

Пирамида Хеопса является правильной четырехугольной пирамидой, следовательно, в ее основании лежит квадрат, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

1. Найдем сторону основания пирамиды ($a$). Так как основание — квадрат, его площадь равна квадрату стороны: $S_{осн} = a^2$ $a = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{53000} \text{ м} \approx 230,2 \text{ м}$.

2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$, где $P$ — периметр основания, а $h_s$ — апофема (высота боковой грани).

3. Периметр основания (квадрата) равен: $P = 4a = 4\sqrt{53000} \text{ м}$.

4. Найдем апофему $h_s$. Апофему можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и самой апофемой $h_s$, которая является гипотенузой. $h_s^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$ $h_s = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{140^2 + (\frac{\sqrt{53000}}{2})^2} = \sqrt{19600 + \frac{53000}{4}} = \sqrt{19600 + 13250} = \sqrt{32850} \text{ м}$. $h_s \approx 181,2 \text{ м}$.

5. Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{53000}) \cdot \sqrt{32850} = 2 \cdot \sqrt{53000 \cdot 32850} = 2 \cdot \sqrt{1741050000} \text{ м}^2$. $S_{бок} \approx 2 \cdot 41725,9 = 83451,8 \text{ м}^2$.

Учитывая, что исходные данные являются приблизительными, округлим результат до трех значащих цифр. $S_{бок} \approx 83500 \text{ м}^2$.

Ответ: $S_{бок} \approx 83500 \text{ м}^2$ (или 8,35 га).

2.19. Найдите площадь поверхности детали в форме правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 1 и 2, а боковые ребра равны 1 (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Дано:

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.
Сторона нижнего основания: $a = 2$.
Сторона верхнего основания: $b = 1$.
Боковое ребро: $l = 1$.

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды: $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площадей двух ее оснований ($S_{нижн}$ и $S_{верхн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок}$

1. Найдем площади оснований. Поскольку усеченная пирамида правильная, ее основаниями являются квадраты.

Площадь нижнего основания со стороной $a=2$:
$S_{нижн} = a^2 = 2^2 = 4$ (кв. ед.).

Площадь верхнего основания со стороной $b=1$:
$S_{верхн} = b^2 = 1^2 = 1$ (кв. ед.).

2. Найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных трапеций. Площадь боковой поверхности равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему (высоту боковой грани). Сначала найдем апофему $h_a$.

Рассмотрим боковую грань — равнобедренную трапецию с основаниями $a=2$, $b=1$ и боковой стороной $l=1$. Проведем в этой трапеции высоту (апофему пирамиды $h_a$) из вершины меньшего основания к большему. Эта высота образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковое ребро $l$, одним катетом — апофема $h_a$, а вторым катетом — полуразность оснований трапеции.

Длина второго катета равна: $\frac{a-b}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h_a^2 + (\frac{a-b}{2})^2$.

Выразим и найдем апофему $h_a$:

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности. Площадь одной боковой грани (трапеции) равна:

$S_{трап} = \frac{a+b}{2} \cdot h_a = \frac{2+1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Так как таких граней четыре, площадь всей боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ (кв. ед.).

4. Наконец, найдем площадь полной поверхности детали, сложив площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = 4 + 1 + 3\sqrt{3} = 5 + 3\sqrt{3}$ (кв. ед.).

Ответ: $5 + 3\sqrt{3}$.

2.20. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности правильной пирамиды SABC (рис. 2.15), соединяющего середины ребер AB и SC.

Рис. 2.15

Для нахождения кратчайшего пути по поверхности многогранника необходимо использовать его развертку. Кратчайшим путем между двумя точками на развертке будет длина отрезка, соединяющего эти точки.

Пусть D — середина ребра AB, а E — середина ребра SC. Пирамида SABC является правильной, это означает, что ее основание ABC — равносторонний треугольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Обозначим длину ребра основания за $a$ ($AB=BC=CA=a$), а длину бокового ребра за $b$ ($SA=SB=SC=b$).

Точка D находится на ребре AB, которое является общим для граней ABC и SAB. Точка E находится на ребре SC, которое является общим для граней SAC и SBC. Следовательно, кратчайший путь может проходить по двум смежным граням. Рассмотрим основные возможные маршруты.

Чтобы найти длину этого пути, сделаем развертку пирамиды, расположив грани SAB и SBC в одной плоскости. Общим ребром для этих граней является SB. В результате развертки получим плоскую фигуру ASBC, состоящую из двух равных равнобедренных треугольников SAB и SBC.

Кратчайший путь между точками D и E на этой развертке — это длина отрезка DE. Найдем ее.

В равнобедренном треугольнике SBC ($SB=SC=b$, $BC=a$) найдем угол при вершине $\angle BSC$. Обозначим его $\alpha$. По теореме косинусов:$a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2 \cos \alpha \implies \cos \alpha = \frac{2b^2 - a^2}{2b^2}$.Поскольку все боковые грани равны, то $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = \alpha$.

Для нахождения длины DE воспользуемся геометрическим построением на развертке. Пусть F — середина отрезка BC. Тогда EF — средняя линия треугольника SBC, следовательно, $EF = \frac{1}{2}SB = \frac{b}{2}$ и $EF \parallel SB$.

Аналогично, DF — отрезок, соединяющий середины сторон AB и BC в четырехугольнике ASBC. Однако удобнее рассмотреть треугольник ABC на развертке (хотя A, B, C не образуют исходное основание). На развертке A, S, C образуют треугольник ASC. DF не является средней линией.

Воспользуемся более надежным методом — методом координат. Поместим вершину S в начало координат (0,0), а ребро SB расположим вдоль оси Ox.

• Координаты вершины S: (0, 0).
• Координаты вершины B: ($b$, 0).
• Вершина A получается поворотом точки B вокруг S на угол $-\alpha$. Ее координаты: ($b\cos(-\alpha), b\sin(-\alpha)$) = ($b\cos\alpha, -b\sin\alpha$).
• Вершина C получается поворотом точки B вокруг S на угол $\alpha$. Ее координаты: ($b\cos\alpha, b\sin\alpha$).

Теперь найдем координаты точек D и E.

• D — середина AB: $D = \left(\frac{b\cos\alpha + b}{2}, \frac{-b\sin\alpha + 0}{2}\right) = \left(\frac{b(1+\cos\alpha)}{2}, -\frac{b\sin\alpha}{2}\right)$.
• E — середина SC: $E = \left(\frac{b\cos\alpha + 0}{2}, \frac{b\sin\alpha + 0}{2}\right) = \left(\frac{b\cos\alpha}{2}, \frac{b\sin\alpha}{2}\right)$.

Найдем квадрат расстояния DE:$d_1^2 = DE^2 = \left(\frac{b\cos\alpha}{2} - \frac{b(1+\cos\alpha)}{2}\right)^2 + \left(\frac{b\sin\alpha}{2} - \left(-\frac{b\sin\alpha}{2}\right)\right)^2$$d_1^2 = \left(\frac{b\cos\alpha - b - b\cos\alpha}{2}\right)^2 + \left(\frac{2b\sin\alpha}{2}\right)^2$$d_1^2 = \left(-\frac{b}{2}\right)^2 + (b\sin\alpha)^2 = \frac{b^2}{4} + b^2\sin^2\alpha$.

Ответ: Длина пути по боковым граням SAB и SBC равна $d_1 = \sqrt{\frac{b^2}{4} + b^2\sin^2\alpha}$, где $\alpha = \arccos\left(\frac{2b^2 - a^2}{2b^2}\right)$.

Сделаем развертку, расположив в одной плоскости грань основания ABC и боковую грань SBC. Общим ребром является BC. В результате получим плоскую фигуру ABSC.

Кратчайший путь — это длина отрезка DE. Найдем ее, используя метод координат. Расположим основание BC на оси Ox.

• Координаты вершины B: (0, 0).
• Координаты вершины C: ($a$, 0).
• Поскольку ABC — равносторонний треугольник, координаты вершины A: $\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.
• Грань SBC — равнобедренный треугольник. Вершина S будет иметь абсциссу $a/2$. Ордината S будет равна высоте треугольника SBC, опущенной на сторону BC, взятой со знаком минус. Высота $h_{SBC} = \sqrt{SC^2 - (BC/2)^2} = \sqrt{b^2 - (a/2)^2}$. Координаты вершины S: $\left(\frac{a}{2}, -\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}\right)$.

Найдем координаты точек D и E.

• D — середина AB: $D = \left(\frac{0 + a/2}{2}, \frac{0 + a\sqrt{3}/2}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$.
• E — середина SC: $E = \left(\frac{a/2 + a}{2}, \frac{-\sqrt{b^2-a^2/4} + 0}{2}\right) = \left(\frac{3a}{4}, -\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2}\right)$.

Найдем квадрат расстояния DE:$d_2^2 = DE^2 = \left(\frac{3a}{4} - \frac{a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2$$d_2^2 = \left(\frac{2a}{4}\right)^2 + \left(-1 \cdot \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)\right)^2$$d_2^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2$.

По симметрии, путь через грани ABC и SAC будет иметь такую же длину.

Ответ: Длина пути по грани основания ABC и боковой грани SBC равна $d_2 = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2}$.

Кратчайшим путем будет наименьшая из найденных длин. Таким образом, искомая длина $L$ равна:$L = \min(d_1, d_2)$.

В общем случае, без знания соотношения между $a$ и $b$, невозможно определить, какой из путей короче.

Рассмотрим частный случай, когда пирамида является правильным тетраэдром, то есть $a=b$. В этом случае все грани — равносторонние треугольники, и угол $\alpha=60^\circ$.

Длина первого пути:$d_1^2 = \frac{a^2}{4} + a^2\sin^2(60^\circ) = \frac{a^2}{4} + a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2 \implies d_1 = a$.

Длина второго пути:$d_2^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{a^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{\sqrt{3a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2$$d_2^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{a\sqrt{3}/2}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{2a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2 \implies d_2 = a$.

В случае правильного тетраэдра оба пути имеют одинаковую длину, равную длине ребра тетраэдра. Если в условии задачи подразумевался именно этот случай (что вероятно, учитывая отсутствие данных о размерах), то ответ — $a$. В общем виде ответ зависит от $a$ и $b$.

Ответ: Длина кратчайшего пути равна $\min\left(\sqrt{\frac{b^2}{4} + b^2\sin^2\alpha}, \sqrt{\frac{a^2}{4} + \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2/4}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2}\right)$, где $a$ — сторона основания, $b$ — боковое ребро, а $\alpha = \arccos\left(\frac{2b^2 - a^2}{2b^2}\right)$.

2.21. На рисунке 2.16 изображен бункер, поверхность основной части которого представляет боковую поверхность правильной четырех- угольной усеченной пирамиды. По размерам, указанным на рисунке (в см), вы- числите, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера (не считая рукавов А и В).

Рис. 2.16

Дано:

Основная часть бункера имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

Сторона верхнего основания, $a = 275$ см.

Сторона нижнего основания, $b = 125$ см.

Высота усеченной пирамиды, $H = 200$ см.

Переведем размеры в дециметры, так как ответ требуется в квадратных дециметрах (1 дм = 10 см):

$a = 275 \text{ см} = 27.5 \text{ дм}$

$b = 125 \text{ см} = 12.5 \text{ дм}$

$H = 200 \text{ см} = 20 \text{ дм}$

Найти:

Площадь листового железа, необходимого для изготовления бункера, $S_{бок}$ в дм².

Решение:

Количество листового железа, необходимое для изготовления основной части бункера, равно площади боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных трапеций.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_s$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры верхнего и нижнего оснований, а $h_s$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем периметры оснований:

Периметр верхнего основания: $P_1 = 4a = 4 \cdot 27.5 = 110$ дм.

Периметр нижнего основания: $P_2 = 4b = 4 \cdot 12.5 = 50$ дм.

2. Найдем апофему $h_s$. Апофему можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота усеченной пирамиды $H$ и полуразность сторон оснований $\frac{a-b}{2}$.

Найдем длину второго катета:

$\frac{a-b}{2} = \frac{27.5 - 12.5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ дм.

Теперь по теореме Пифагора найдем апофему:

$h_s = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 + 7.5^2} = \sqrt{400 + 56.25} = \sqrt{456.25}$ дм.

Упростим значение корня:

$\sqrt{456.25} = \sqrt{\frac{45625}{100}} = \frac{\sqrt{625 \cdot 73}}{10} = \frac{25\sqrt{73}}{10} = 2.5\sqrt{73}$ дм.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_s = \frac{110 + 50}{2} \cdot 2.5\sqrt{73} = \frac{160}{2} \cdot 2.5\sqrt{73} = 80 \cdot 2.5\sqrt{73} = 200\sqrt{73}$ дм².

Проверим расчет, вычислив площадь одной боковой грани (трапеции) и умножив на 4.

Площадь одной трапеции: $S_{трап} = \frac{a+b}{2} \cdot h_s = \frac{27.5+12.5}{2} \cdot 2.5\sqrt{73} = \frac{40}{2} \cdot 2.5\sqrt{73} = 20 \cdot 2.5\sqrt{73} = 50\sqrt{73}$ дм².

Общая площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot 50\sqrt{73} = 200\sqrt{73}$ дм².

Результаты совпадают.

Ответ: $200\sqrt{73}$ дм².

2.22 Докажите, что если из каждой вершины многогранника выходит четыре ребра, то учетверенное число вершин равно удвоенному числу ребер. Сколько ребер у такого многогранника, если число вершин равно 6? Приведите пример такого многогранника.

Докажите, что если из каждой вершины многогранника выходит четыре ребра, то учетверенное число вершин равно удвоенному числу ребер.

Пусть $В$ — число вершин многогранника, а $Р$ — число его ребер. По условию, из каждой вершины выходит ровно четыре ребра. Сумма степеней всех вершин многогранника (то есть общее число ребер, сходящихся в вершинах) равна произведению числа вершин на степень каждой вершины: $4 \times В$.

С другой стороны, согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней вершин любого графа (в данном случае — графа ребер многогранника) равна удвоенному числу его ребер: $2 \times Р$.

Приравнивая два этих выражения для одной и той же величины, получаем:

$4В = 2Р$

Это и доказывает требуемое утверждение.

Ответ: Соотношение $4В = 2Р$ доказано.

Сколько ребер у такого многогранника, если число вершин равно 6?

Дано:

Число вершин $В = 6$

Из каждой вершины выходит 4 ребра

Найти:

Число ребер $Р$

Решение:

Используем доказанную в первой части задачи формулу:

$4В = 2Р$

Подставим в нее известное значение числа вершин $В = 6$:

$4 \times 6 = 2Р$

$24 = 2Р$

Отсюда находим число ребер $Р$:

$Р = \frac{24}{2} = 12$

Ответ: У такого многогранника 12 ребер.

Приведите пример такого многогранника.

Примером многогранника, который имеет 6 вершин и у которого из каждой вершины выходит по 4 ребра, является октаэдр.

У октаэдра:

• Число вершин $В = 6$

• Число ребер $Р = 12$

В каждой вершине октаэдра сходятся ровно 4 ребра. Проверим выполнение нашего соотношения: $4 \times 6 = 2 \times 12$, или $24 = 24$. Условие выполняется.

Ответ: Примером такого многогранника является октаэдр.

2.23. Повторите определение многоугольника на плоскости и теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

Определение многоугольника на плоскости

Многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Более строго, многоугольник (или $n$-угольник) — это фигура, состоящая из $n$ точек $A_1, A_2, \dots, A_n$, называемых вершинами, и $n$ отрезков $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n, A_nA_1$, называемых сторонами. При этом должны выполняться следующие условия:

1. Никакие две несмежные стороны (стороны, не имеющие общей вершины) не имеют общих точек.

2. Никакие две смежные стороны (стороны, выходящие из одной вершины) не лежат на одной прямой.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Эквивалентное определение: многоугольник является выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, полностью содержится внутри многоугольника. Все внутренние углы выпуклого многоугольника меньше $180^\circ$.

Ответ: Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией без самопересечений. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Теорема: Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим выпуклый $n$-угольник с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_n$. Выберем произвольную вершину, например $A_1$, и проведём из неё все возможные диагонали к остальным вершинам ($A_3, A_4, \dots, A_{n-1}$). Всего будет проведено $n-3$ диагонали.

Эти диагонали разбивают исходный $n$-угольник на $n-2$ треугольника. Например, пятиугольник ($n=5$) разбивается на $5-2=3$ треугольника, а четырехугольник ($n=4$) — на $4-2=2$ треугольника.

Сумма всех внутренних углов многоугольника в точности равна сумме углов всех этих образовавшихся треугольников. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, общая сумма углов для $n-2$ треугольников будет равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Таким образом, формула для суммы углов $S_n$ выпуклого $n$-угольника, где $n$ — число его сторон ($n \ge 3$), имеет вид:

$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

Ответ: Сумма углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.