Страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Приведите пример многогранного угла, у которого сумма плоских углов больше $360^\circ$.

Теорема 2. Сумма двугранных углов многогранного угла больше

Известная теорема о том, что сумма плоских углов многогранного угла меньше $360^\circ$, справедлива только для выпуклых многогранных углов. Таким образом, для выполнения условия задачи необходимо рассмотреть невыпуклый (или впалый) многогранный угол.

Решение

Рассмотрим трехгранный угол, который образован тремя плоскостями $\Pi_1$, $\Pi_2$ и $\Pi_3$, пересекающимися в одной точке $V$ (вершине угла).

1. Пусть две плоскости, $\Pi_1$ и $\Pi_2$, пересекаются по прямой $l$.

2. Проведем третью плоскость, $\Pi_3$, перпендикулярно прямой $l$. Точка пересечения $V$ плоскости $\Pi_3$ с прямой $l$ будет вершиной нашего трехгранного угла.

3. Ребрами этого трехгранного угла будут служить линии пересечения плоскостей: прямая $l = \Pi_1 \cap \Pi_2$, прямая $m = \Pi_1 \cap \Pi_3$ и прямая $n = \Pi_2 \cap \Pi_3$.

4. Найдем величины плоских углов этого трехгранного угла при вершине $V$:

- Первый плоский угол лежит в плоскости $\Pi_3$ и образован ребрами $m$ и $n$. Его величина по определению равна величине двугранного угла между плоскостями $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

- Второй плоский угол лежит в плоскости $\Pi_1$ и образован ребрами $l$ и $m$. Так как плоскость $\Pi_3$ перпендикулярна прямой $l$, то и любая прямая в этой плоскости, проходящая через точку $V$, будет перпендикулярна $l$. Следовательно, ребро $m$ перпендикулярно ребру $l$, и этот плоский угол равен $90^\circ$.

- Третий плоский угол лежит в плоскости $\Pi_2$ и образован ребрами $l$ и $n$. Аналогично предыдущему пункту, этот угол также равен $90^\circ$.

5. Сумма плоских углов $S$ нашего трехгранного угла равна $S = \alpha + 90^\circ + 90^\circ = \alpha + 180^\circ$.

6. Чтобы сумма $S$ была больше $360^\circ$, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $\alpha + 180^\circ > 360^\circ$, что означает $\alpha > 180^\circ$.

7. Выберем значение для двугранного угла $\alpha$, большее $180^\circ$. Например, пусть $\alpha = 270^\circ$. Такой угол является невыпуклым (впалым).

8. Тогда сумма плоских углов будет равна: $S = 270^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 450^\circ$.

Поскольку $450^\circ > 360^\circ$, данный трехгранный угол является искомым примером.

Наглядно такой угол можно представить как внутренний угол в углу комнаты, если смотреть изнутри стены, или как угол при основании переплета книги, раскрытой более чем на $180^\circ$ и стоящей на столе.

Ответ: Примером многогранного угла, у которого сумма плоских углов больше $360^\circ$, является невыпуклый трехгранный угол, у которого один плоский угол равен $270^\circ$, а два других — по $90^\circ$. Сумма его плоских углов составляет $270^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 450^\circ$.

Вопросы

1. Что называется многогранной поверхностью?

2. Что называется многогранным углом?

3. Как обозначается многогранный угол?

4. Сформулируйте теорему о плоских углах трехгранного угла.

5. Какая фигура называется выпуклой?

6. Какой многогранный угол называется выпуклым?

7. Сформулируйте теорему о плоских углах выпуклого многогранного угла.

8. Сформулируйте теорему о двугранных углах трехгранного угла.

1. Что называется многогранной поверхностью?
Многогранной поверхностью называется поверхность, составленная из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями. При этом должны выполняться следующие условия:
1. Каждая сторона (ребро) одного многоугольника является одновременно стороной ровно одного другого многоугольника.
2. Множество граней, сходящихся в одной вершине, образуют единый цикл. То есть, можно обойти все эти грани, переходя от одной к другой через общие ребра, и вернуться в исходную грань, не проходя ни одну грань дважды.
3. Поверхность является связной, то есть от любой грани можно добраться до любой другой, переходя через общие ребра.
Вершины и стороны этих многоугольников называются соответственно вершинами и ребрами многогранной поверхности. Примером может служить поверхность куба или любой другой призмы или пирамиды.
Ответ: Многогранная поверхность — это поверхность, составленная из многоугольников (граней) так, что каждая сторона является общей ровно для двух граней, а сама поверхность является связной.

2. Что называется многогранным углом?
Многогранным углом называется геометрическая фигура, образованная всеми лучами, выходящими из одной точки (вершины) и пересекающими некоторый многоугольник, плоскость которого не проходит через эту вершину.
Иначе говоря, это часть пространства, ограниченная несколькими плоскими углами с общей вершиной, не лежащими в одной плоскости.
Основные элементы многогранного угла:
- Вершина — общая точка, из которой выходят лучи (ребра).
- Ребра — лучи, выходящие из вершины.
- Грани — плоские углы, образованные парами соседних ребер.
- Двугранные углы — углы между соседними гранями.
По числу граней различают трехгранные, четырехгранные и т.д. углы.
Ответ: Многогранный угол — это часть пространства, образованная несколькими плоскостями (гранями), пересекающимися в одной общей точке (вершине).

3. Как обозначается многогранный угол?
Многогранный угол обычно обозначают одной буквой, соответствующей его вершине. Например, многогранный угол с вершиной в точке $O$ обозначается как угол $O$.
Если необходимо уточнить, о каком угле идет речь (например, если в одной вершине сходится несколько углов), или указать его ребра, используют несколько букв. Первой указывают вершину, а затем — по одной точке на каждом из его ребер в порядке обхода. Например, трехгранный угол с вершиной $S$ и ребрами, проходящими через точки $A, B, C$, обозначается как $SABC$.
Ответ: Многогранный угол обозначается буквой, соответствующей его вершине (например, $S$), или последовательностью букв, где первая — вершина, а остальные — точки на его ребрах (например, $SABC$).

4. Сформулируйте теорему о плоских углах трехгранного угла.
Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Пусть трехгранный угол имеет плоские углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Тогда справедливы следующие три неравенства:
$\alpha < \beta + \gamma$
$\beta < \alpha + \gamma$
$\gamma < \alpha + \beta$
Эта теорема является пространственным аналогом неравенства треугольника для длин сторон.
Ответ: Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

5. Какая фигура называется выпуклой?
Геометрическая фигура (на плоскости или в пространстве) называется выпуклой, если для любых двух точек, принадлежащих этой фигуре, отрезок, соединяющий эти точки, также целиком принадлежит этой фигуре.
Проще говоря, в выпуклой фигуре нет "впадин" или "дыр". Если провести прямую линию между любыми двумя точками внутри фигуры, линия никогда не выйдет за ее пределы. Примеры выпуклых фигур: круг, квадрат, шар, куб. Примеры невыпуклых фигур: звезда, полумесяц.
Ответ: Выпуклой фигурой называется такая фигура, которая вместе с любыми двумя своими точками содержит и весь соединяющий их отрезок.

6. Какой многогранный угол называется выпуклым?
Многогранный угол называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой из его граней.
Это означает, что если мы продолжим любую грань до бесконечной плоскости, то весь многогранный угол окажется в одном из двух полупространств, на которые эта плоскость делит все пространство.
Эквивалентное определение: многогранный угол является выпуклым, если его пересечение с любой плоскостью, не проходящей через вершину, является выпуклым многоугольником.
Ответ: Выпуклый многогранный угол — это такой многогранный угол, который расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней.

7. Сформулируйте теорему о плоских углах выпуклого многогранного угла.
Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан).
Если выпуклый многогранный угол имеет $n$ плоских углов $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$, то их сумма удовлетворяет неравенству:
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i < 360^\circ$
Например, для трехгранного угла сумма его плоских углов всегда меньше $360^\circ$.
Ответ: Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше $360^\circ$.

8. Сформулируйте теорему о двугранных углах трехгранного угла.
Основная теорема, связывающая двугранные и плоские углы трехгранного угла, — это теорема косинусов для трехгранного угла (также известная как первая сферическая теорема косинусов).
Пусть в трехгранном угле с вершиной $S$ плоские углы равны $\alpha, \beta, \gamma$. Пусть $A, B, C$ — двугранные углы, противолежащие этим плоским углам соответственно (т.е. $A$ — двугранный угол при ребре, не входящем в угол $\alpha$). Тогда справедливы следующие соотношения:
$\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos A$
$\cos \beta = \cos \alpha \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma \cos B$
$\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cos C$
Эта теорема позволяет вычислить величину двугранного угла, зная все три плоских угла, и наоборот. Также из нее следует, что сумма двугранных углов трехгранного угла больше $180^\circ$ и меньше $540^\circ$.
Ответ: Теорема косинусов для трехгранного угла связывает его плоские углы ($\alpha, \beta, \gamma$) и двугранные углы ($A, B, C$). Например, $\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos A$.

3.1. Существует ли трехгранный угол с плоскими углами:

а) $20^\circ$, $60^\circ$, $30^\circ$;

б) $40^\circ$, $40^\circ$, $80^\circ$;

в) $60^\circ$, $45^\circ$, $30^\circ$?

Для определения существования трехгранного угла с заданными плоскими углами необходимо проверить выполнение двух основных свойств (неравенств) для плоских углов трехгранного угла.

1. Неравенство трехгранного угла: Сумма любых двух плоских углов должна быть строго больше третьего. Практически это сводится к проверке того, что самый большой из углов меньше суммы двух других.

2. Сумма плоских углов: Сумма всех трех плоских углов должна быть строго меньше $360^\circ$.

Трехгранный угол существует только в том случае, если выполняются оба эти условия.

а)

Дано:

Набор плоских углов: $20^\circ, 60^\circ, 30^\circ$.

Найти:

Определить, может ли существовать трехгранный угол с такими плоскими углами.

Решение:

Проверим выполнение двух условий.

1. Проверим неравенство трехгранного угла. Наибольший угол в наборе равен $60^\circ$. Сумма двух других углов составляет $20^\circ + 30^\circ = 50^\circ$.
Сравним наибольший угол с суммой двух других: $60^\circ < 20^\circ + 30^\circ$.
Получаем: $60^\circ < 50^\circ$.
Это неравенство ложно. Первое условие не выполняется.

2. Несмотря на то что первое условие не выполнено (чего уже достаточно для отрицательного ответа), проверим и второе условие. Сумма всех углов: $20^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 110^\circ$.
Сравним с $360^\circ$: $110^\circ < 360^\circ$.
Это неравенство истинно. Второе условие выполняется.

Поскольку для существования трехгранного угла необходимо выполнение обоих условий, а первое не выполняется, такой угол не существует.

Ответ: не существует.

б)

Дано:

Набор плоских углов: $40^\circ, 40^\circ, 80^\circ$.

Найти:

Определить, может ли существовать трехгранный угол с такими плоскими углами.

Решение:

Проверим выполнение двух условий.

1. Проверим неравенство трехгранного угла. Наибольший угол равен $80^\circ$. Сумма двух других углов: $40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$.
Сравним наибольший угол с суммой двух других: $80^\circ < 40^\circ + 40^\circ$.
Получаем: $80^\circ < 80^\circ$.
Это неравенство ложно, так как требуется строгое неравенство. Равенство означает, что угол является вырожденным (плоским). Первое условие не выполняется.

2. Проверим второе условие. Сумма всех углов: $40^\circ + 40^\circ + 80^\circ = 160^\circ$.
Сравним с $360^\circ$: $160^\circ < 360^\circ$.
Это неравенство истинно. Второе условие выполняется.

Так как первое условие не выполняется, трехгранный угол с такими плоскими углами не существует.

Ответ: не существует.

в)

Дано:

Набор плоских углов: $60^\circ, 45^\circ, 30^\circ$.

Найти:

Определить, может ли существовать трехгранный угол с такими плоскими углами.

Решение:

Проверим выполнение двух условий.

1. Проверим неравенство трехгранного угла. Наибольший угол равен $60^\circ$. Сумма двух других углов: $45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$.
Сравним наибольший угол с суммой двух других: $60^\circ < 45^\circ + 30^\circ$.
Получаем: $60^\circ < 75^\circ$.
Это неравенство истинно. Первое условие выполняется.

2. Проверим второе условие. Сумма всех углов: $60^\circ + 45^\circ + 30^\circ = 135^\circ$.
Сравним с $360^\circ$: $135^\circ < 360^\circ$.
Это неравенство истинно. Второе условие выполняется.

Поскольку оба условия выполняются, трехгранный угол с такими плоскими углами существует.

Ответ: существует.